تفاضل متقارن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمودار ون ~A \triangle B
تفاضل متقارن
اجتماع بدون اشتراک:
Venn0111.svg ~\setminus~ Venn0001.svg ~=~ Venn0110.svg

در ریاضیات،تفاضل متقارن دو مجموعه ،مجموعه‌ای از اعضای آنهاست به گونه‌ای که آن اعضا در یکی از دو مجموعه هست و در اشتراک آن دو وجود ندارد.

تفاضل متقارن دو مجموعه ی A و B ،معمولاً به صورت‌های زیر نمایش داده می‌شود:

 A\,\triangle\,B\,

یا

A \ominus B.

یا

A \oplus B.

برای مثال،تفاضل متقارن دو مجموعه ی \{1,2,3\}و \{3,4\} می‌شود: \{1,2,4\}.

تفاضل متقارن مجموعه ی تمام دانش آموزان و مجموعه ی خانم‌ها،تمام دانش آموزان مرد و تمام خانم‌هایی که دانش آموز نیستند را شامل می‌شود.

مجموعه توانی هر مجموعه با عملگر تفاضل متقارن،یک گروه آبلی را تشکیل می‌دهد؛که مجموعه تهی عضو خنثی گروه و هر عضوی از این گروه،معکوس خودش است.

مجموعه توانی هر مجموعه‌ای،با تفاضل متقارن یک حلقه بولی می‌شود،به علاوه،در این حلقه،اشتراک،به عنوان ضرب حلقه به حساب می‌آید.

خصوصیات[ویرایش]

تفاضل متقارن برابر است با اجتماع دو مکمل نسبی(به انگلیسی: relative complement)،یعنی:

A\,\triangle\,B = (A \smallsetminus B) \cup (B \smallsetminus A),\,

و همچنین آن را می‌توان به شکل اجتماع دو مجموعه،منهای،اشتراک آن دو نشان داد:

A\,\triangle\,B = (A \cup B) \smallsetminus (A \cap B),

یا با عملوند XOR :

A\,\triangle\,B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}.

به طور خاص، A\triangle B\subseteq A\cup B.

تفاضل متقارن دارای خاصیت شرکت پذیری و جا به جایی است:

A\,\triangle\,B = B\,\triangle\,A,\,
(A\,\triangle\,B)\,\triangle\,C = A\,\triangle\,(B\,\triangle\,C).\,
نمودار ون ~A \triangle B \triangle C
Venn 0110 0110.svg ~\triangle~ Venn 0000 1111.svg ~=~ Venn 0110 1001.svg

بنابراین،تکرار تفاضل متقارن روی چند مجموعه،یک مجموعه از اعضایی است که،در تعداد فردی از مجموعه‌ها آمده‌اند.

تفاضل متقارن از دو تفاضل متقارن تکراری،یک تفاضل متقارن تکراری از به هم پیوستن دو چندمجموعه‌ای است، که برای هر مجموعه دوتایی،هردو می‌توانند جابه جا شوند.الگو:ترجمه نیاز

(A\,\triangle\,B)\,\triangle\,(B\,\triangle\,C) = A\,\triangle\,C.\,

این اشاره دارد به نوعی نامساوی مثلثی:اجتماع تفاضل متقارن A و B ، و تفاضل متقارن B و C ،شامل تفاضل متقارن A و C می‌شود.(البته در نظر داشته باشید که برای قطر(به انگلیسی: diameter)تفاضل متقارن ،قضیه نامساوی مثلث لزوماً برقرار نیست.)

مجموعه تهی عضو خنثی است،و هر مجموعه‌ای وارون خودش است:

A\,\triangle\,\varnothing = A,\,
A\,\triangle\,A = \varnothing.\,

روی هم رفته،مشاهده می‌شود که مجموعه توانی هر مجموعه X یک گروه آبلی می‌شود اگر از تفاضل متقارن به عنوان عملگر استفاده شود.

چون هر عضوی در این گروه وارون خودش است،در حقیقت این یک فضای برداری(خطی) روی میدان با دو عضو Z2 است.اگر X متناهی باشد،پس یک مجموعه یکتا تک عضوی پایه ی این فضای برداری را تشکیل می دهد،و در نتیجهبُعد آن برابر است با تعداد اعضای X.این ساختار در تئوری گراف برای تعریف فضای چرخشی(به انگلیسی: cycle space)گراف استفاده می شود.

خاصیت پخشی اشتراک در تفاصل متقارن:

A \cap (B\,\triangle\,C) = (A \cap B)\,\triangle\,(A \cap C),

و این نشان می‌دهد که، مجموعه توانی هر مجموعه‌ای،با تفاضل متقارن یک حلقه بولی می‌شود،به علاوه،در این حلقه،اشتراک،به عنوان ضرب حلقه به حساب می‌آید.این یک نمونه بارز از حلقه بولی است.

سایر ویژگی‌های تفاضل متقارن:

  • A\triangle B=A^c\triangle B^c، اگر به ترتیب A^c،B^cبرابر باشند با مکمل A،مکملB.
  • \left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}A_\alpha\right)\triangle\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}B_\alpha\right)\subseteq\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}\left(A_\alpha\triangle B_\alpha\right)، که \mathcal{I} برابر است با یک مجموعه دلخواه ناتهی.
  • اگر f : S \rightarrow T تابعی باشد و A, B \subseteq T مجموعه‌هایی از هم دامنه ی f باشند،آنگاه داریم: f^{-1}\left(A \Delta B\right) = f^{-1}\left(A\right) \Delta f^{-1}\left(B\right).

تفاضل متقارن را در جبر بولی ،می توان این گونه تعریف کرد:

 x\,\triangle\,y = (x \lor y) \land \lnot(x \land y) = (x \land \lnot y) \lor (y \land \lnot x) = x \oplus y.

ویژگی‌های این عمل ، مانند تفاضل متقارن مجموعه ها است.

تفاضل متقارن nتایی[ویرایش]

طبق موارد گفته شده،تفاضل متقارن چندمجموعه شامل اعضایی است که در تعداد فردی از مجموعه ها آمده باشند.

\triangle M = \left\{ a \in \bigcup M: |\{A\in M:a \in A\}| \mbox{ is odd}\right\}.

بدیهی است که،این تنها زمانی تعریف خوبی است که هر عضوی از اجتماع \bigcup M توسط تعداد محدودی از اعضای M شرکت کرده باشند.

فرض کنید M=\{M_{1},M_{2}, \ldots , M_{n}\} یک چندمجموعه‌ای است که n \ge 2.آن گاه فرمولی برای |\triangle M| وجود دارد،که تعداد اعضا در \triangle M ،تنها بر حسب اشتراک اعضای M داده شده است.

|\triangle M| = \sum_{l=1}^{n} (-2)^{l-1} \sum_{i_{1} \ne i_{2} \ne \ldots \ne i_{l}} |M_{i_{1}} \cap M_{i_{2}} \cap \ldots \cap M_{i_{l}}|،

که در نظرگرفتنِ i_{1} \ne i_{2} \ne \ldots \ne i_{l} n ،دلالت می‌کند بر این که \{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{l}\} زیر مجموعه‌ای از اعضای متمایز\{1,2,\ldots,n\} است،از آن وجود دارد \binom{n}{1}.الگو:ترجمه نیاز

تفاضل متقارن در فضای اندازه[ویرایش]

مادامی که مفهوم "اندازه" مجموعه وجود دارد،تفاضل متقارن بین دو مجموعه می‌تواند به عنوان مقیاس "مسافت"بین آن دو در نظر گرفته شود.رسمی تر اینکه،اگر اندازه μ یک سیگما متناهی در جبر سیگماتعریف شود،تابع

d(X,Y) = \mu(X\,\triangle\,Y)

در Σ شبه متریک است.d متریک می شود اگر Σ پیمانه رابطه هم ارزی در نظر گرفته شود،X ~ Y اگر و فقط اگر \mu(X\,\triangle\,Y) = 0. در نتیجه فضای متریک تفکیک پذیر است اگر و فقط اگر (L2تفکیک پذیر باشد.

در نظر بگیرید S=\left(\Omega,\mathcal{A},\mu\right) چند فضای اندازه باشد و F,G\in\mathcal{A} و \mathcal{D},\mathcal{E}\subseteq\mathcal{A}.

تفاضل متقارن اندازه پذیر است:F\triangle G\in\mathcal{A}.

می نویسیم:F=G\left[\mathcal{A},\mu\right]اگر و فقط اگر \mu\left(F\triangle G\right)=0. رابطه ی "=\left[\mathcal{A},\mu\right]" روی مجموعه های \mathcal{A} اندازه پذیر ،هم ارزی است.

می نویسیم \mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A},\mu\right] اگر و فقط اگر به هر D\in\mathcal{D} وجود دارد E\in\mathcal{E} مانند D=E\left[\mathcal{A},\mu\right]. رابطه "\subseteq\left[\mathcal{A},\mu\right]" یک ترتیب جزئی روی خانواده ی زیرمجموعه های A است.

می نویسیم:\mathcal{D}=\mathcal{E}\left[\mathcal{A},\mu\right] اگر و فقط اگر \mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A},\mu\right] و\mathcal{E}\subseteq\mathcal{D}\left[\mathcal{A},\mu\right].رابطه ی "=\left[\mathcal{A},\mu\right]" رابطه ی هم ارزی بین زیرمجموعه های \mathcal{A} است.

"بستار متقارن" (به انگلیسی: symmetric closure)از \mathcal{D} ،مجموعه ای از همه ی مجموعه های \mathcal{A} اندازه پذیر است که =\left[\mathcal{A},\mu\right] هستند به برخی D\in\mathcal{D}. بستار متقارن از \mathcal{D} ، \mathcal{D} را دربردارد.اگر \mathcal{D} تابع جبر سیگما از \mathcal{A} باشد،بنابراین بستار متقارن از \mathcal{D} است.

F=G\left[\mathcal{A},\mu\right] اگر و فقط اگر \left|\mathbf{1}_F-\mathbf{1}_G\right|=0 \left[\mathcal{A},\mu\right]-a.e.

منابع[ویرایش]

ترجمه http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_difference