نظریه گروه‌ها

گروه از جمله مهم‌ترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلور شناسی، فیزیک، کوانتم و... از اهمیت بالایی برخوردار است.

فکر تشکیل نظریه گروه‌ها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می‌کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کرده‌اند و به این ترتیب در زمان صرفه جویی می‌شود.

شاخه‌ای از ریاضیات را که به مطالعه گروه‌ها اختصاص دارد نظریه گروه‌ها نامیده می‌شود.

مرور تاریخی

نظریه گروه‌ها به‌وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال 1770 با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چندجمله‌ای پایه گذاری شد.

نظریه اعداد به‌وسیله کارل فردریش گاوس در سال 1801 مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی.اف.کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه‌ها کارهای بسیار انجام داده‌است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروه‌ها می‌دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس.لی لای و سی.اف کلاین هستند.

اما اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)، لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروه‌ها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروه‌ها و حلقه‌ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می‌خوانند بسیار مورد توجه‌ است.

اگرچه مفهوم گروه تبدیل‌ها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته‌ است، اما کار اصلی در گسترش مغهوم گروه از مطالعه معادلات چندجمله‌ای حاصل شده‌ است. یونانیان قدیم از روش‌های حل معادله درجه دو آگاه بودند. در قرن شانزدهم قدم‌هایی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم روی Q برداشته شد. اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه‌های یک معادله چند جمله‌ای بوده‌است که به‌وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته‌است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.

او کشف کرد که ریشه‌های همه مواردی را که او امتحان کرده‌است توابعی گویا از ریشه‌های معادلات متناظرشان هستند. لئونارد اویلر(1707-1783) و ژوزف لویی لاگرانژ(1736-1813) هر دو، با ادامه کار با چند جمله ای‌های درجه پجم و بالاتر سعی کردند معادله درجه پنجم کلی را حل کنند. لاگرانژ دریافته بود که بین درجه n معادله چند جمله‌ای و گروه جایگشتی S_n باید رابطه‌ای وجود داشته باشد. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.

اما این نیلس هنریک آبل(1802-1829) بود که سرانجام ثابت کرد پیدا کردن فرمولی برای حل معادله درجه پنجم کلی، تنها با جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و ریشه گیری ممکن نیست.

در طی همین دوران، اواریست گالوا (1811-1832) ریاضیدان معروف فرانسوی وجود شرط لازم و کافی برای حل چند جمله‌ای درجه پپنجم یا بالاتر با ضرایب گویا، به وسیله رادیکال‌ها را تحقیق کرد. در کار گالوا ساختارهای گروهی و هیات‌ها به کار می‌روند.گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن 18 سالگی(1829)منتشر ساخت. اما کمک‌های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال 1846 مورد توجه قرار نگرفت.

به دنبال دستاوردهای گالوا، نظریه گروه‌ها جای خود را در بسیاری از زمینه‌های ریاضی باز کرد. مثلا، ریاضی دان آلمانی فلیکس کلاین (1849-1929) در آنچه که به برنامه ارلانگر معروف است، سعی کرد که تمام هندسه‌های موجود را بر حسب گروه تبدیل‌هایی که تحت آن‌ها ویژگی‌های هندسه ناوردا بودند تدوین کند.

بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار می‌کردند می‌توان برتراند، چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.

تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال 1854 کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال 1870، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ.وبر در سال 1882، تعریفی برای گروه‌های متناهی و در سال 1883 تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.

والتر فون دایک در سال 1882 اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد.

مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال 1884 به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.

در طی قرن بیستم پژوهش‌های بسیار زیادی برای تحلیل ساختار گروه‌های متناهی صورت گرفت. در دهه‌های اخیر، ریاضیدانان در جست و جوی همه گروه‌های ساده متناهی و توضیح نقش آن‌ها در ساختار تمام گروه‌های متناهی بوده‌اند. از جمله پشگامان این بسط، والترفیت، جان تامسن، دانیل گورنشتین، می‌شاییل آشباخر و رابرت گریس هستند.

امروزه نظریه گروهها به بنیادی‌ترین نظریه‌ها در جبر مجرد تبدیل شده‌است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.

گروه‌ها

ابتدا یادآوری می‌کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده‌است. گروه نیز از جمله ساختمان‌های جبری است.

گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت پذیری باشد. هم چنین وجود عنصر همانی و عنصر عکس در این ساختار الزامیست. به موجب این تعریف:
اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آن‌گاه (G,ο) را یک گروه می‌نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:

1. برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. (بسته بودن G نسبت به عمل ο)
2. برای هر a ο (b ο c) = (a ο b) ο c ، a,b,c ∈ G. (ویژگی شرکت پذیری)
3. برای هر a ∈ G، یک e∈G وجود دارد که a ο e = e ο a = a. (وجود عنصر همانی)
4. برای هر a ∈ G، یک b∈G وجود دارد که a ο b = b ο a = e. (وجود عنصر عکس)

گروه‌ها را می‌توان بسته به ویژگی‌های آن دسته‌بندی کرد:

گروه دوری

گروه G را دوری می‌خوانند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به Z، داشته باشیم: a = xⁿ

مفهوم گروه دوری به مفهوم وابسته‌ای منجر می‌شود. فرض کنید گروه G را داریم، اگر a ∈ G، مجموعه S= {a^n>|k∈Z}۰ را در نظر می‌گیریم. از مطالب ذکر شده به عنوان قضیه می‌توان به این نتیجه رسید که S زیر گروه G است. این زیر گروه را زیر گروه تولید شده به وسیله a می‌نامند و با <a> نمایش می‌دهند.

در این جا تعداد اعضای S را مرتبه a می‌نامند و با σ(a)۰ نمایش می‌دهند که در واقع |<a>| می‌باشد. در صورتی که |<a>| نامتناهی باشد می‌گوییم که a مرتبه نامتناهی دارد.

در این جا قضایای تعیین کننده روابط بین گروه و زیرگروه‌های آنها را بیان می‌کنیم.

• فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و a^k = e آنگاه n|k.
• درصورتی که G یک گروه دوری باشد.
  • اگر G متناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.
  • اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Z_n) یکریخت است.
• هر زیرگروه یک گروه دوری، گروهی دوری است.

گروه جایگشتی

گروه جایگشتی

گروه متناهی

گروه متناهی گروهی است که مرتبه آن(به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) عددی نامتناهی نباشد.

گروه آبلی

گروه آبلی یا تعویض پدیر گروهی است که علاوه بر خصوصیت‌های بالا، تعویض پذیر نیز باشد. صفت آبلی به افتخار ریاضیدان نروژِی، نیلس هنریک آبل اختیار شده‌است. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο a

گروه آبلی متناهی

گروه‌های آبلی متناهی، گروهی است که علاوه بر مرتبه متناهی دارای خاصیت جابجایی در عمل بین اعضای خود باشد.

گروه خارج قسمتی

• • گروه خارج قسمتی

گروه متقارن

• • گروه متقارن

گروه دووجهی

• • گروه دووجهی

اصطلاحات موجود در نظریه گروهها

عمل دوتایی - گروه آبلی - زیرگروه - مرکز گروه - هم مجموعه‌ها - مرکز ساز گروه - نرمال ساز گروه - زیرگروه نرمال - مرتبه گروه - مرتبه عضو - گروه دوری - گروه خارج قسمت - گروه متقارن - همومورفیسم - قضایای ایزومورفیسم - حاصل ضرب مستقیم - تزویج - معادله کلاسی - قضیه کیلی - قضیه لاگرانژ - قضیه کوشی - قضایای سیلو

تعاریف و ویژگی‌های مقدماتی

• در صورتی که برای عمل گروه نشانه‌ای در نظر نگیریم به صورت پیش فرض ضربی خواهد بود.
  

توان در گروه‌های ضربی

برای هر عنصر توان را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
a⁰ = e.
n ≥0، aⁿ⁺¹ = aⁿ .a
از طرف دیگر چون هر عنصر گروه عکسی دارد، باید a^-n در نظر گرفته شود، برای n ∈ Z⁺ تعریف می‌کنیم:
همچنین برای a^m.aⁿ = a^m+nm,n∈ Z وa^m)ⁿ = a^mn) می‌باشند.(در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده می‌شود.)

مرتبه گروه

• وقتی G گروه نامتناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G می‌نامند و با |G| نمایش می‌دهند.
  

مثلا برای Z_n,+)| = n ،n ∈ Z⁺v)| و برای هر عدد اول p، داریم : Z_p^*,.)| = p-1)|

زیرگروه

زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می‌نویسیم H⊆G.

توجه داشته باشید که از آن جا که H خود یک گروه‌است، سایر خواص یک گروه را داراست.

قضایای مقدماتی

• برای هر گروه G
  • عنصر همانی G یکتاست.
    
  • عکس هر عنصر G یکتاست.
    
  • اگر ac = ab ، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از چپ)
  • اگر ca = ba ، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از راست)
  • برای هر ab)² = b²a² ، a,b ∈ G) اگر و تنها اگر گروه G آبلی باشد.

• اگر H زیرمجموعه‌ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:

1. H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
2. H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a^-1∈H

• شرط تناهی این وضعیت را بهتر می‌کند:

اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد.

• فرض کنید (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند. عمل دوتایی . را بر G×H به نحو زیر تعریف می‌کنیم:

(g_۱,h_۱).(g_۲,h_۲) = ( g_۱οg_۲,h_۱*h_۲)

در این صورت، (.,G×H) یک گروه‌است و حاصل ضرب مستقیم G و H خوانده می‌شود.

هم ریختی‌ها و یک ریختی ها

در صورتی که (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند و f:G→H، در صورتی که برای هر a,b ∈ G داشته باشیم: f(aοb) = f(a)*f(b)۰ آنگاه f را هم ریختی گروهی می‌نامند. اگر بدانیم که ساختارهای داده شده گروه هستند f را فقط همریختی می‌خوانیم.

• فرض کنید (G,ο) و (*,H) گروههایی به ترتیب با عناصر همانی e_G و e_H باشند، اگر f:G→H در این صورت:
  • f(e_G) = e_H
  • برای هر a ∈G ، f(a^-۱) = [f(a)]^-۱
  • برای هر a ∈G و هر n ∈Z ، f(aⁿ) = [f(a)]ⁿ
  • برای هر زیر گروه S از f(S)، G زیر گروه Hاست.

---

اگر f:(G,ο) &→ (H,*)۰ یک همریختی باشد، f را یک یکریختی می‌نامند اگر و تنها اگر f یک به یک و پوشا باشد. در این حالت می‌گویند G و H گروه‌های یکریختن اند.

هم مجموعه ها

هم مجموعه‌ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آنها بر خورد می‌کنیم. در صورتی که H زیر گروه G باشد، آنگاه برای هر a ∈ G مجموعه aH={ah|h ∈ H}۰ را هم مجموعه چپ H در G می‌نامند. مجموعه Ha={ha|h ∈ H}۰ هم مچموعه راست H در G است. (به همین ترتیب در صورتی که عمل گروه دارای خواص جمعی باشد مجموعه‌های H+a={h+a|h ∈ H}۰ و a+H={a+h|h ∈ H}۰ هم مجموعه‌های چپ و راست خواهند بود.)

• اگر H زیر گروهی از گروه متناهی G باشد، آنگاه برای هر a,b ∈ H داریم:
  • |aH| = |H|
  • aH = bH یا aH ∩ bH = Φ

از کاربردهای اولیه هم مجموعه‌ها در اثبات قضایایی نظیر قضیه لاگرانژ است که جلوتر به آن اشاره می‌شود.

قضایای پیشرفته در نظریه گروه ها

قضیه لاگرانژ

قضیه لاگرانژ بیان می‌کند که اگر G یک گروه متناهی و H زیرگروه G باشد، مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند. قضیه لاگرانژ با استفاده از مفهوم هم مجموعه‌ها به راحتی قابل استفاده‌است. فرع‌های زیر از قضیه لاگرانژ قابل استنباط هستند:

• اگر G گروهی متناهی باشد، و a ∈ G، آنگاه σ(a)| |G|۰.
• هر گروهی که مرتبه آن یک عدد اول باشد، گروهی دوری است.
• اگر G گروهی متناهی از مرتبه n باشد و x∈G آنگاه xⁿ=e.

برای اثبات این مطلب زیرگروه دوری تولید شده توسط x یعنی <x> را در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم <x> از مرتبه m باشد. در این صورت قضیه لاگرانژ ایجاب می‌کند که m|n پس عدد صحیح k وجود دارد که n=mk.

از طرفی m مرتبه عضو(کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت که اگر x به توان آن برسد حاصل عضو خنثی گروه G شود) x است پس x^m=e

بنابراین:

$x^n=x^{mk}=(x^m)^k=e^k=e$

این نتیجه علاوه بر کاربردهایش در مورد گروه‌ها، برای ارائه برهانی جبری برای قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر استفاده می‌شود.

قضیه پوانکاره

قضیه پوانکاره بیان می‌کند که اگر G یک گروه باشد و K,H زیرگروههای G با اندیس متناهی در G باشند، $[G:H\cap K]\le [G:H][G:K]$

قضیه کیلی

قضیه کیلی بیان می‌کند که هر گروه G با زیرمجموعه‌ای از گروه متقارن روی G ایزومورف است.

قضایای سیلو

قضایای سیلو:

قضیه برنساید

قضیه برنساید

لم برنساید

لم برنساید روشی را بیان می‌کند برای شمارش افرازهای یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات برای اطلاعات بیشتر می‌توانید به صفحه مربوطه مراجعه کنید.

قضایای ایزومورفیسم

قضایای ایزومورفیسم بیان می‌کند که

لم جوردن-هولدر

لم جوردن-هولدراز قرار زیر است

نمونه‌هایی از گروههای مهم

مثالهای زیادی از گروهها وجود دارد. یه عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع یک گروه‌است که آبلی نیز می‌باشد. در این قسمت چند نمونه از گروهها را که معمولاً در بررسی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند را معرفی می‌کنیم. خواننده می‌تواند گروه بودن هر نمونه را بررسی کند.

• گروه چهارتایی کلاین

فرض کنید {V={a,b,c,d یک مجموعه چهارعضوی باشد. عمل * را روی V به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

جدول گروه چهار تایی کلاین

*	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	a	d	c
c	c	d	a	b
d	d	c	b	a

در این صورت V گروهی آبلی و متناهی به نام گروه چهارتایی کلاین تشکیل می‌دهد.(گروه کلاین مربوط به تقارنهای مستطیل می‌باشد)

• گروه اعداد صحیح به هنگ m

می‌دانید اگر m عددی طبیعی باشد، رابطه همنهشتی به هنگ m یا $\equiv _m$ یک رابطه هم ارزی روی مجموعه اعداد صحیح $\mathbb{Z}$ تعریف می‌کند که مجموعه خارج قسمت آن(مجموعه همه کلاس‌های هم ارزی رابطه هم ارزی) را با $\mathbb{Z}_m$ نشان می‌دهیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم ارزی a را با $\bar{a}$ نشان دهیم، در این صورت: 

$\mathbb{Z}_m=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},...,\bar{m-1}\}$

حال عمل ⊕ موسوم به جمع نیمی یا جمع با پیمانه m را به صورت

$\forall \bar{a},\bar{b}\in \mathbb{Z}_m:\bar{a}\oplus \bar{b}=\overline{a+b}$

تعریف می‌کنیم. در این صورت خواننده آشنا با نظریه همنهشتی به سادگی می‌تواند بررسی کند که $\mathbb{Z}_m$ به همراه عمل ⊕ یک گروه‌است.

به همین صورت گروهی دیگری را به همراه عمل ضرب به پیمانه m با کمی تغییر می‌تواند ساخت.

کاربرد گروهها

گروه‌ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و ... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه بندی ساختار بلورها و چندوجهی‌های منظم، تقارن‌های ملکولی استفاده می‌شوند.

بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می‌شود.

همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و ... در شاخه‌های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری، توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری، نظریه جبری اعداد و.. استفاده می‌شود.

نظریه گروه در شیمی

با توجه به تقارن موجود در ترکیبات شیمیایی، ترکیبات به گروههای مختلف تقارنی تقسیم می‌شوند. هر گروه خواص دارد که در طیف بینی کاربرد دارد.

همچنین ببینید

• جبر مجرد
• ساختمان جبری
• گروه دوری
• گروه جایگشتی
• گروه دووجهی
• همومورفیسم

منابع

• رالف گریمالدی. ریاضیات گسسته و ترکیبیاتی از دیدگاه کاربردی جلد دوم. ترجمهٔ دکتر علی عمیدی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1385. ISBN 964-01-0890-1. 

• دی.اس.مالک-جال.ان.مردسون-ام.ک.سن. اساس جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم-سید محمد داورپناه. مشهد: دانشگاه امام رضا(ع)، 1380. ISBN 964-6582-29-X. 

• دان ساراسینو. جبر مجرد. ترجمهٔ محمد رضا فلکی. مشهد: نشر اقلیدس، 1381. ISBN 964-91210-9-9. 

• اسرائیل ناتان هراشتاین. جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده. تهران: موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، 1381. ISBN 964-6379-02-8. 

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Group theory»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در 24 آگوست 2007).[[sl>Teorija grup]]