الگوریتم‌های تصادفی

نحوهٔ عملکرد الگوریتم‌های تصادفی

در این مقاله شما با الگوریتم‌های تصادفی و همچنین تحلیل تصادفی آشنا می شوید سپس میزان اطمینان آن(واقعیت) را بررسی می کنیم و همچنین انواع الگوریتم‌های تصادفی و تاریخچه ی آن‌ها را در این مقاله می خوانیم. در ضمن در انتها چند مثال از الگوریتم‌های تصادفی را بررسی می کنیم.

چکیده

بطور خلاصه، تحلیل احتمالی، استفاده از احتمال در تحلیل مسئله می‌باشد این موضوع معمولاً موقعی به کار می‌رود که بدترین حالت الگوریتم(حالت‌های بهترین، بدترین و متوسط) دارای احتمال ناچیزی می‌باشد و می خواهیم کارایی برنامه را در حالت متوسط (حالت‌های بهترین، بدترین و متوسط) بدست بیاوریم و این موضوع را می‌توان با تحلیل احتمالی به راحتی بدست آورد.

الگوریتم تصادفی به الگوریتمی گفته می‌شود که رفتارش نه تنها به ورودی اش بلکه همچنین با مقادیر تولید شده توسط یک مولد تصادفی تعیین می‌شود.بنابراین در این نوع الگوریتم فرض می کنیم که ماشینی که در آن الگوریتم خود را پیاده سازی می کنیم باید دارای تولید کنندهٔ اعداد تصادفی باشد.

الگوریتم تصادفی

الگوریتمی است که در آن به ماشین تولید اعداد تصادفی دسترسی دارد و از آن در الگوریتم خود استفاده می‌کند. این الگوریتم نوعاً با هدف بالا بردن کارایی در حالت‌های معمول از یک ورودی دودویی کمکی برای رفتارهای خود استفاده می‌کند. کارایی الگوریتم با یک متغیر تصادفی که به بیت‌های تصادفی داده شده بستگی دارد، تغییر می‌یابد که (امیدوارانه) امید ریاضی خوبی را شامل می‌شود. احتمال وقوع بدترین حالت آنقدر کم است که می‌توان از آن صرفنظر کرد.

میزان نزدیکی به واقعیت در مورد الگوریتم های تصادفی

میزان واقعیت الگوریتم‌های تصادفی

در این قسمت می خواهیم در مورد مطلب بسیار مهم میزان اطمینان به این نوع الگوریتم صحبت کنیم. همان طور که در شکل مشاهده می نمایید با افزایش محور افقی می‌توانیم با احتمال نزدیک به ۱۰۰ درصد نتیجهٔ حاصل نزدیک به واقعیت می‌باشد. (برای اطلاعات بیشتر از نحوهٔ بدست آوردن این صفحه می‌توانید به لینک آن مراجعه نمایید.)

یک مثال از الگوریتم‌های تصادفی

به عنوان یک مثال واقعی، مرتب‌سازی سریع یکی از مهمترین الگوریتم هایتصادفی می‌باشد که بدترین حالت خیلی کم اتفاق می افتد و با تحلیل احتمالی این موضوع را ثابت می کنیم و همچنین نوع Randomize Quick Sort که یک الگوریتم تصادفی می‌باشد و صرفا به ورودی آرایه‌ای مربوط نمی‌باشد بلکه به یک عدد تصادفی تولید شده نیز مربوط می‌باشد.

به عنوان یک مثال فرض کنید در آرایه‌ای که شامل اعداد ۰ و۱ می‌باشد بطوری که نصف آن‌ها ۰ و نیمی دیگر ۱ می‌باشند حال می خواهیم با جستجو کردن از ابتدای آرایه اولین عنصر با مقدار ۱ را بیابیم در مسئله در بدترین حالت باید N/۲ تا خانه را چک کنیم تا ۱ را پیدا کنیم ولی این حالت بسیار خاص می‌باشد و در حالت متوسط مشاهده می کنیم تعداد حالت جستجو برای این موضوع بسیار کمتر از این مقدار است.

موارد استفاده الگوریتم‌های تصادفی

۱. الگوریتم‌های تصادفی بویژه در مواردی استفاده دارند که با یک دشمن یا مهاجم بد خواهی! مواجهیم که از روی عناد ورودی بدی را برای ما فراهم می‌کند(آنالیز رقابتی). به همین دلیل انتخاب تصادفی پایه رمزنگاری را تشکیل می‌دهد. این بدین معنی است که دشمن شما(!) نمی‌تواند با یک ورودی خاص بدترین حالت (Worst Case)شما را پدید بیاورد چون که به اعداد تصادفی تولید شده نیز مربوط می‌باشد.

۲. از الگوریتم‌های تصادفی معمولاً برای بررسی پدیده‌هایی مورد استفاده قرار می‌گیرند که در آنها تعداد زیاد باشد.برای مثال واپاشی یک هسته پرتوزا را در نظر می‌گیریم.برای بررسی این پدیده که چه زمانی یک اتم از آن واپاشی می‌کند ناچار به استفاده از احتمال هستیم.یعنی بهتر است بگوییم احتمال واپاشی این اتم چه قدر است.حالا اگر تعداد اتمها زیاد باشد، دیگر مسئله را از طریق تحلیلی نمی‌توان حل کرد.بلکه باید به روش‌های عددی روی آورد.در حقیقت الگوریتم‌های تصادفی، راهی برای حل عددی اینگونه مسائل هستند.

انواع الگوریتم‌های تصادفی

در مثال بالا الگوریتم تصادفی همیشه درست جواب می‌دهد تنها احتمال کوچکی وجود دارد که زمان زیادی برای رسیدن به پاسخ صرف کند. در بعضی مواقع ما از الگوریتم با اجازه دادن ایجاد احتمال کمی خطا انتظار سرعت بالاتر را داریم. الگوریتمهای از نوع اول را لاس وگاس (Las Vegas algorithms) و نوع اخیر را مونت کارلو (Monte Carlo algorithms) می‌نامند. مشاهده می‌کنیم که هر الگوریتم لاس وگاس با گرفتن جوابی احتمالاً نادرست در زمانی مشخص و محدود شده به الگوریتم مونت کارلو تبدیل می‌شود.

از الگوریتم‌های تصادفی معمولاً برای بررسی پدیده‌هایی مورد استفاده قرار می‌گیرند که در آنها تعداد زیاد باشد.برای مثال واپاشی یک هسته پرتوزا را در نظر می‌گیریم.برای بررسی این پدیده که چه زمانی یک اتم از آن واپاشی می‌کند ناچار به استفاده از احتمال هستیم.یعنی بهتر است بگوییم احتمال واپاشی این اتم چه قدر است.حالا اگر تعداد اتمها زیاد باشد، دیگر مسئله را از طریق تحلیلی نمی‌توان حل کرد.بلکه باید به روش‌های عددی روی آورد.در حقیقت الگوریتم‌های تصادفی، راهی برای حل عددی اینگونه مسائل هستند.

در آزمایشگاه لوس آلاموس در آمریکا دانشمندانی که بر روی پروژه سری منهتن کار می‌کردند، برای بررسی سیستم‌هایی که درآنها تعداد ذرات بالااست، مجبور به ابداع روش و یا الگوریتمی شدند که بعدها نام «مونت کارلو» بر آن قرار دادند.این الگوریتم برای نمونه گیری آماری از سیستم‌هایی با تعداد فضای فاز بالا به کار می‌رود.همچنین از این الگوریتم برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال گیری معین استفاده می‌شود. دوالگوریتم مشهور مونت کارلو عبارتند از:

1. الگوریتم متروپلیس
2. الگوریتم مونت کارلو جنبشی یا n-fold way.

این الگوریتم‌ها بیشتر بر این مبنا کار می‌کنند که:ابتداء یک پیکر بندی از سیستم مورد بررسی انتخاب می‌شود.سپس راه‌های موجود برای اینکه سیستم به آنها گذار کند مشخص احتمال آنها محاسبه می‌شود.آنگاه با تولید یک عدد تصادفی احتمالات موجود مورد سنجش قرار می‌گیرند، و سیستم به یکی از حالات ممکن گذار می‌کند.دوباره قسمت دیگری از سیستم انتخاب شده و مراحل قبلی تکرار می‌شود.

مثال: مساله استخدام

فرض کنید شما به استخدام یک منشی در شرکت خود نیاز دارید و چون تلاش‌های گذشتهی شما بی نتیجه مانده است از یک آژانس کاریابی کمک می‌گیرید. این آژانس هر روز برای شما یک داوطلب استخدام می‌فرستد. شما با فرد متقاضی مصاحبه کرده و تصمیم می‌گیرید که او را استخدام کنید یا نه. شما هر بار برای مصاحبه با یک نفر باید مبلغ کمی به آژانس پرداخت کنید. شما می‌خواهید هر بار بهترین فرد ممکن را به عنوان منشی استخدام کنید و این کار با اخراج منشی قبلی و استخدام فرد جدید و پرداخت پول هم راه است. برای آن که همیشه بهترین فرد منشی استخدامی شما باشد بعد از مصاحبه با هر نفر اگر او از فرد قبلی بهتر بود او را استخدام می‌کنید. شما می‌خواهید هزینه این کار را قبل از شروع استخدام تخمین بزنید. در زیر یک الگوریتم ساده که گویای این عملیات است ارائه شده است:

مصاحبه کردن برای استخدام قیمت کمی را در بر دارد که آن را با ci عنوان می‌کنیم ولی آگهی استخدام فیمت بالایی در بر دارد که با ch نشان می‌دهیم. اگر از بین n نفر m تایشان استخدام شوند هزینهٔ کل از O(nci + Onch) l است.

در بدترین حالت ما باید همهٔ داوطلبین را استخدام کنیم که هزینه از O(nch)l می‌شود.

برای آن که بتوانیم متوسط هزینه استخدام را تخمین بزنیم فرض می‌کنیم داوطلبین به صورت رندوم می‌آیند. این به این معناست که ما گویی قبل از ورود داوطلبین جایگاه هر کدام از نظر خوب تر بودن را به ترتیب می دانیم و هرروز به صورت رندوم از میان این n نفر یکی را انتخاب می‌کنیم.(می دانیم که این انتخاب ما به صورت رندوم یک انتخاب خوب است) برای محاسبهٔ هزینه میانگین با این توضیحات از ایدهٔ متغیر تصادفی استفاده می‌کنیم.

تحلیل

X را یک متغیر تصادفی می‌گیریم که برابر است با تعداد دفعاتی که ما یک منشی استخدام می‌کنیم. می دانیم:

ولی محاسبهٔ این سیگما هنوز مشکل است. پس X را به n متغیر تصادفی دیگر تقسیم می‌کنیم.

و می دانیم:

طبق قوانین ریاضی می‌نویسیم:

منابع

• Knuth, Donald. The Art of Computer Programming (Volume 1 / Fundamental Algorithms), 2nd Printing. USA: Addison-Wesley Publishing, 1969.

• Cormen, Thomas H. (et al), Intorduction to Algorithms (2nd Edition), USA: McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-07-013151-1

• هورویتز، الیس. طراحی الگوریتم‌ها، چاپ دوم (مترجم: علیخانزاده، امیر). مشهد: پرتونگار، ۱۳۸۵.

ISBN 964-6735-12-6

• کرمن/لیرسون/ریورست/استین، کتاب طراحی مقدمه‌ای بر طراحی الگوریتم ها، چاپ چهارم(مترجم : گروه مهندسی پژوهشی خوارزمی) فصل ششم، مشهد(1387)

جستارهای وابسته

• فلوچارت
• الگوریتم‌های مرتب‌سازی
• الگوریتم کروسکال

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ الگوریتم‌های تصادفی موجود است.