آنالیز مختلط

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش تابع f(x)=(x2-1)(x-2-i)2/(x2+2+2i). در این تصویر رنگ آرگومان تابع را نشان می‌دهد و شدت رنگ بیانگر اندازه است.

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که در آن به توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط پرداخته میشود.

مفاهیم و قضیه‌های اساسی[ویرایش]

تابع مختلط[ویرایش]

تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف


f\colon\, \mathbb{C}\to \mathbb{C},\; x + iy \mapsto f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y).

از آنجا که \mathbb{C} با \mathbb{R}^{2} هم‌ارز است، گاهی تعریف f\colon\, \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2} نیز بکار برده میشود.

مشتق‌پذیری[ویرایش]

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه z_{0} وجود داشته باشد. در اینجا مسلما z یک مقدار مختلط است.


f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. f(z)=u(z)+iv(z) ,\quad z=x+iy:


\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
\quad,\quad   
\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

فرمول کوشی[ویرایش]

فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:


f(z) = \frac 1{2\pi i}\oint \frac{f(z')}{z'-z}dz'

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

قضیه مانده‌ها[ویرایش]

(انگلیسی: Residue theorem) به مقاله اصلی مراجعه شود.

بسط دادن[ویرایش]

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

منابع[ویرایش]

  • Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
  • Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
  • Konrad Königsberger, Analysis, Bd. 1, 6. Edition. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.