عدد اصلی

الف-صفر کوچکترین عدد نامتناهی اصلی

در ریاضیات عدد اصلی یا عدد کاردینال (Cardinal number) مفهوم و معیاری است که برای نشان دادن اندازهٔ مجموعه‌ها، و به‌ویژه، برای مقایسهٔ بزرگی آن‌ها در کنار یکدیگر به کار می‌رود.

قوانین عدد کاردینال

اعداد اصلی از قوانین زیر پیروی می‌کنند:

۱. هر مجموعهٔ A متناظر با یک عدد اصلی موسوم به $card{A} \!$ است و هر عدد اصلی a متناظر با مجموعه‌ای مانند A است که $card{A} = a \!$ .

۲. $card{A} = 0 \!$ اگر و فقط اگر A تهی باشد.

۳. اگر A یک مجموعهٔ ناتهی و متناهی باشد که $A \sim \big\{ 1,2,3,...k \big\} \!$ (k یک عدد طبیعی است) آنگاه $card{A} = k \!$ .

۴. به ازای دو مجموعهٔ دلخواه A و B، $card{B} = card{A} \!$ اگر و تنها اگر $A \sim B \!$

عدد اصلی هر مجموعهٔ متناهی، برابر با یک عدد طبیعی است. و برای مجموعه‌های نامحدود اعداد ترامتناهی می‌شود:

$0, 1, 2, 3, \cdots, n, \cdots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots, \aleph_{\alpha}, \cdots. \!$

که هم شامل اعداد طبیعی می‌شود و هم اعداد نامتناهی که هر $\aleph_\alpha \!$ متناظر با یک مجموعه خوش ترتیب است. کوچکترین عدد نامتناهی $\aleph_0$ است که برابر اندازهٔ مجموعهٔ اعداد طبیعی است.

همچنین، عدد اصلی متناظر با مجموعهٔ غیر قابل شمارش اعداد حقیقی برابر $2^{\aleph_0} \!$ است، که با $c \!$ نشان داده می‌شود.

فرض پیوستار

الگو:مقالهٔ اصلی بر طبق فرض پیوستار هیچ عدد اصلی ما بین $\aleph_0 \!$ و $2^{\aleph_0}\!$ موجود نیست پس داریم:

$2^{\aleph_0}=\aleph_1$

جستارهای وابسته

• عدد اردینال

منابع

• امیر هوشنگ یمینی. مبانی ریاضیات. چاپ چهارم دی ماه ۱۳۷۹. مرکز نشر دانشگاه امیر کبیر. ISBN 964-463-034-3. 
• ریاضیات گسسته و کاربردهای آن (انگلیسی)

• Sudkamp, T. A., An Introduction to the Theory of Computer Science, Languages and Machines, 3rd ed., Pearson Education, Inc., 2006. ISBN 0-321-32221-5 [۱]