اجتماع (مجموعه)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اگر عضوهای دو مجموعه  A و  B را در مجموعهٔ دیگری بریزیم، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با A\cup B نمایش می‌دهیم.

اصل موضوع اجتماع[ویرایش]

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر A\in S داشته باشیم A\subseteq C.

اجتماع همه اعضای S که آن را با \bigcup S یا \bigcup_{A\in S}A نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\bigcup S := \bigcup_{A\in S}A := \{x\in C: \exists A\in S, x\in A\}

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، \bigcup \{A, B\} را با A\cup B نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با A\cup B\cup C،... و اجتماع n مجموعه A_1, A_2,\cdots,A_n را با A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = (A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{n-1})\cup A_n

خواص اجتماع[ویرایش]

مهم‌ترین ویژگی A\cup B این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع A\cup B کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با A\cap B نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

A\cup A = A
A\cup B = B\cup A
A\cup \phi = \phi\cup A = A
(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)
A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)
A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)

منابع[ویرایش]

  • Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977. ISBN 7-238440-12-0
عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگترین مقسوم علیه مشترک
کوچکترین مضرب مشترک

ترکیباتی

( ) ضریب بینم
A جایگشت

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

برداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر