اجتماع (مجموعه)

اگر عضوهای دو مجموعه $A$ و $B$ را در مجموعهٔ دیگری بریزیم، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با $A\cup B$ نمایش می‌دهیم.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر $A\in S$ داشته باشیم $A\subseteq C$.

اجتماع همه اعضای S که آن رfffا با $\bigcup S$ یا $\bigcup_{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcup S := \bigcup_{A\in S}A := \{x\in C: \exists A\in S, x\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، $\bigcup \{A, B\}$ را با $A\cup B$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با $A\cup B\cup C$،... و اجتماع n مجموعه $A_1, A_2,\cdots,A_n$ را با $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = (A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{n-1})\cup A_n$

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی $A\cup B$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع $A\cup B$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با $A\cap B$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

$A\cup A = A$

$A\cup B = B\cup A$

$A\cup \phi = \phi\cup A = A$

$(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$

$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977. ISBN 7-238440-12-0

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگترین مقسوم علیه مشترک ∨ کوچکترین مضرب مشترک ترکیباتی ( ) ضریب بینم A جایگشت	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	برداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر