اصل موضوع زوج‌سازی

اصل موضوع زوج سازی در ریاضیات بیان می‌کند به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

مقدمه

ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید که آیا به قدر کافی مجموعه وجود دارد که بتوان اطمینان یافت که هر مجموعه‌ای عضو مجموعهٔ دیگر است؟ یا دقیق‌تر، آیا برای هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که شامل آن دو مجموعه مفروض باشد؟ در مورد چند مجموعه چه‌طور؟

برای برادشتن اولین قدم برای پاسخ به این سوالات در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها به اصل موضوع مجموعه ساز دیگری نیاز داریم که اصل موضوع زوج سازی (Axiom of paring) نام دارد.

اصل موضوع زوج سازی

این اصل بیان می‌کند:

$\forall A\forall B\exists C(A\in C\land B\in C)$

یا به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

توجه داشته باشید که اصل موضوع زوج سازی بیان می‌کند A شامل a و b است ولی نمی گوید A دقیقاً شامل a و b است، اما با استفاده از اصل موضوع تصریح می‌توان مجموعه‌ای ساخت که دقیقاً شامل a و b باشد.

اگر a و b دو مجموعه باشند برطبق اصل موضوع زوج سازی مجموعه‌ای چون A موجود است که شامل a و b است. حال اگر اصل موضوع تصریح را بکار برده و مجموعه {x∈A:x=a∨x=b} را در نظر بگیریم این مجموعه زیرمجموعه‌ای از A است که فقط شامل دو عضو a و b است و عبارت است از {B={a,b.

پس در بیان نتیجه‌ای از اصل موضوع زوج سازی می توان گفت: برای هر دو مجموعه دلخواه a و b مجموعه‌ای چون A وجود دارد که دقیقاً شامل aو b باشد یا {A={a,b.

اصل موضوع گسترش یکتا بودن مجموعه فوق را تضمین می‌کند و لذا یک مجموعه وجود دارد که دقیقاً شامل a و b است و همانطور که در قبل مشاهده کردید آن را به صورت {a,b} نشان می‌دهیم و به آن زوج نامرتب a و b می‌گوییم.

حال امکان این را داریم که به برخی از سوالاتی که در ابتدا مطح کردیم پاسخ دهیم. فرض کنید a مجموعه‌ای دلخواه باشد. در این صورت می‌توان اصل موضوع زوج سازی را در مورد a و a بکار برد و زوج نامرتب {a,a} را تشکیل دارد که همان مجموعه تک عضوی {a} است که در این حالت داریم {a∈{a. پس پاسخ این سوال که آیا هر مجموعه عضو مجموعه‌ای دیگر است مثبت است.

حال به نظر شما برای هر تعداد مجموعه دلخواه مجموعه‌ای هست که شامل آن مجموعه‌ها باشد؟

حال ممکن است این سوال برای خواننده کنجکاو پیش بیاید که آیا واقعاً نیازی به تعریف اصل موضوع زوج سازی وجود دارد؟ آیا نمی‌توان با استفاده از اصل موضوع تصریح و بیان یک شرط مجموعه {a,b} را تولید کنیم؟ بیاید به این سوال پاسخ دهیم!

فرض کنید (S(x گزاره نمای «x=a یا x=b» باشد(همانند قبل a و b مجموعه‌اند). می‌توان اصل موضوع زوج سازی را به این صورت تعریف کرد: « مجموعه‌ای چون B وجود دارد که x∈B اگر و فقط اگر x=b یا x=a » (*) در این صورت داریم {B={x:x=a∨x=b.

اما هنگامی که اصل موضوع تصریح برای مجموعه‌ای مفروض چون A به کار می‌رود وجود مجموعه‌ای چون B را بیان می‌کند که: x∈B اگر و فقط اگر x∈A و (x=a یا x=b)(**). که در این صورت داریم{B={x∈A:x=a∨x=b.

حال ببینیم بین (*) و (**) چه رابطه‌ای وجود دارد؟

در حقیقت با توجه به اصل موضوع تصریح مشخص می‌شود که رابطه (*) حالت کاذبی از (**) است چراکه در آن شرط (S(x در مورد یک مجموعه مشخص به‌کار نرفته در صورتی که همانطور که در اصل موضوع تصریح بیان شده است برای تعیین یک مجموعه تنها بیان یک خاصیت چون (S(x کافی نمی‌باشد و این خاصیت باید برای اعضای یک مجموعه بکار رود تا مجموعه‌ای جدید را مشخص کند.

پس را بطه (*) یک مجموعه را مشخص نمی‌کند و {B={x:x=a∨x=b یک مجموعه نمی‌باشد(معمولاً B و چنین اشیای ریاضی را کلاس یا رده می‌گویند).

پس چون بدون در نظر گرفتن اصل موضوع زوج سازی مجموعه‌ای در اختیار نداریم که با بکار گیری (S(x برای اعضای آن مجموعه B را بسازیم، تعریف اصل موضوع زوج سازی ضروری است.

در حقیقت همه اصول موضوع مجموعه ساز که در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها بیان می‌کنیم همانند اصل موضوع زوج سازی، اصل موضوع اجتماع و ... حالات کاذبی از اصل موضوع تصریح می‌باشند چرا که همه آنها وجود مجموعه‌ای را با بیان یک خاصیت بیان می‌کنند اما معلوج نمی‌باشد عضوهایی که باید در شرط صدق کنند از کجا آورده می‌شوند.

جستارهای وابسته

• اصل موضوع گسترش
• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع مجموعه توانی
• اصل موضوع بینهایت
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع جایگزینی
• مجموعه
• نظریه مجموعه ها
• نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها
• نظریه طبیعی مجموعه‌ها

منابع

• پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373. ISBN 964-01-0052-8. 

• ایان استیوارت، دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376. ISBN 964-01-0253-9. 

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Axiom of pairing»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷).