اصل موضوع زوج‌سازی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اصل موضوع زوج سازی در ریاضیات بیان می‌کند به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

مقدمه[ویرایش]

ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: آیا به قدر کافی مجموعه وجود دارد تا بتوان اطمینان یافت که هر مجموعه‌ای عضو مجموعه‌ی دیگری است؟ یا کمی دقیق‌تر: اگر دو مجموعه‌ی فرضی داشته باشیم، آیا می‌توانیم مجموعه‌ی سومی پیدا کنیم که شامل آن دو مجموعه‌ی مفروض باشد؟ در مورد بیش از دو مجموعه یا به‌عبارتی چند مجموعه چه‌طور؟

برای اولین قدم تا رسیدن به پاسخ این پرسش‌ها در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها، به اصل موضوع مجموعه‌ساز دیگری نیازمندیم که اصل موضوع زوج سازی (Axiom of Pairing) نام دارد.

اصل موضوع زوج سازی[ویرایش]

این اصل بیان می‌کند:

\forall A\forall B\exists C(A\in C\land B\in C)

یا به ازائ هر دو مجموعه، مجموعه‌ی سومی وجود دارد که آن دو مجموعه به آن تعلق دارند یا به عبارت دیگر اگر a و b دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون A هست که a∈A و b∈A.

توجه داشته باشید که اصل موضوع زوج‌سازی بیان می‌کند A شامل a و b است ولی نمی‌گوید A دقیقاً شامل a و b است، اما با استفاده از اصل موضوع تصریح می‌توان مجموعه‌ای ساخت که دقیقاً شامل a و b باشد.

اگر a و b دو مجموعه باشند، برطبق اصل موضوع زوج‌سازی، مجموعه‌ای چون A وجود دارد که شامل a و b است. حال اگر اصل موضوع تصریح را بکار برده و مجموعه {x∈A:x=a∨x=b} را در نظر بگیریم، این مجموعه زیرمجموعه‌ای از A می‌باشد که فقط شامل دو عضو a و b بوده و عبارت است از {B={a,b.

پس در بیان نتیجه‌ای از اصل موضوع زوج‌سازی می‌توان گفت: برای هر دو مجموعه‌ی دلخواه a و b مجموعه‌ای چون A وجود دارد که دقیقاً شامل a و b باشد یا {A={a,b.

اصل موضوع گسترش یکتا بودن مجموعه فوق را تضمین می‌کند و لذا یک مجموعه وجود دارد که دقیقاً شامل a و b است و همانطور که در قبل مشاهده کردید آن را به صورت {a,b} نشان می‌دهیم و به آن زوج نامرتب a و b می‌گوییم.

حال این امکان را داریم تا به برخی از سوالاتی که در ابتدا مطرح کردیم پاسخ دهیم. فرض کنید a مجموعه‌ای دلخواه باشد. در این صورت می‌توان اصل موضوع زوج‌سازی را در مورد a و a بکار برد و زوج نامرتب {a,a} را تشکیل داد که همان مجموعه‌ی تک عضوی {a} است. و در این حالت داریم {a∈{a. پس پاسخ این سوال که آیا هر مجموعه عضو مجموعه‌ای دیگر است مثبت است.

و حالا، آیا به نظر شما برای هر تعداد مجموعه‌ی دلخواه، مجموعه‌ای وجود دارد که شامل آن مجموعه‌ها باشد؟

ممکن است برای خواننده‌ی کنجکاو این سوال پیش بیاید که آیا واقعاً نیازی به تعریف اصل موضوع زوج‌سازی وجود دارد؟ آیا نمی‌توان با استفاده از اصل موضوع تصریح و بیان یک شرط، مجموعه {a,b} را تولید کنیم؟ بیایید به این سوال پاسخ دهیم!

فرض کنید (S(x گزاره نمای «x=a یا x=b» باشد (همانند قبل a و b مجموعه‌اند). می‌توان اصل موضوع زوج سازی را به این صورت تعریف کرد: « مجموعه‌ای چون B وجود دارد که x∈B اگر و فقط اگر x=b یا x=a » (*) در این صورت داریم {B={x:x=a∨x=b.

اما هنگامی که اصل موضوع تصریح برای مجموعه‌ای مفروض چون A به کار می‌رود وجود مجموعه‌ای چون B را بیان می‌کند که: x∈B اگر و فقط اگر x∈A و (x=a یا x=b)(**). که در این صورت داریم {B={x∈A:x=a∨x=b.

حال ببینیم بین (*) و (**) چه رابطه‌ای وجود دارد؟

در حقیقت با توجه به اصل موضوع تصریح مشخص می‌شود که رابطه‌ی (*) حالت کاذبی از (**) است. چراکه در آن شرط (S(x در مورد یک مجموعه مشخص به‌کار نرفته است، و همان‌طور که در اصل موضوع تصریح بیان شده است برای تعیین یک مجموعه تنها بیان یک خاصیت چون (S(x کافی نمی‌باشد و این خاصیت باید برای اعضای یک مجموعه بکار رود تا مجموعه‌ای جدید را مشخص کند.

پس رابطه‌ی (*) یک مجموعه را مشخص نمی‌کند و {B={x:x=a∨x=b یک مجموعه نمی‌باشد (معمولاً B و چنین اشیای ریاضی را کلاس یا رده می‌گویند).

پس چون بدون در نظر گرفتن اصل موضوع زوج سازی مجموعه‌ای در اختیار نداریم تا با بکار گیری (S(x برای اعضای آن مجموعه‌ی B را بسازیم، تعریف اصل موضوع زوج سازی ضروری است.

در حقیقت هر‌آنچه از اصول موضوع مجموعه‌ساز در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها بیان می‌کنیم، ازجمله اصل موضوع زوج‌سازی، اصل موضوع اجتماع و ... حالات کاذبی از اصل موضوع تصریح می‌باشند. چرا که همه‌ی آن‌ها وجود مجموعه‌ای را با بیان یک خاصیت بیان می‌کنند، اما معلوج نمی‌باشد عضوهایی که باید در شرط صدق کنند از کجا آورده می‌شوند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • ایان استیوارت، دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376. ISBN 964-01-0253-9. 
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Axiom of pairing»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷).