جدول ارزش

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در منطق، جدول ارزش یا جدول درستی (Truth table) به جدولی اطلاق می‌شود، که در آن درستی و نادرستی گزاره‌ها درج گردد. منظور از درستی یا صدق در هر گزاره، مطابقت آن با واقع؛ و منظور از نادرستی یا کذب عدم مطابقت آن با واقع است. هر گزاره درست در این جدول‌ها با «د» یا «T» و هر گزاره غلط با «ن» یا «F» نشان داده می‌شود.

عملگر های یگانی(تک ورودی)[ویرایش]

همانی[ویرایش]

عملگر همانی ورودی را بدون تغیر به خروجی می برد.

عملگر همانی
p p
د د
ن ن

نقیض[ویرایش]

نقیض عملگری است که هرگاه قضیه‌ای (گزاره‌ای) صادق و درست باشد، آن را به قضیه‌ای کاذب و نادرست تبدیل خواهد کرد. معمولاً نقیض گزاره p را با عبارت « ~p» یا « p» نشان می‌دهند که خوانده می‌شود « نه p » یا « چنین نیست که p ».

تناقض منطقی
p p
د ن
ن د

عملگر های دودویی[ویرایش]

جدول درستی برای تمام توابع دودویی[ویرایش]

در اینجا جدول عملگر های دودویی برای 16 تابع ممکن امده است


P Q F NOR Xq XOR NAND AND XNOR q IF/Then p Then/IF OR T
د د ن ن ن ن ن ن ن ن د د د د د د د د
د ن ن ن ن ن د د د د ن ن ن ن د د د د
ن د ن ن د د ن ن د د ن ن د د ن ن د د
ن ن ن د ن د ن د ن د ن د ن د ن د ن د

کلید:

نام عملگر
0 Opq F false تناقض
1 Xpq NOR نقیض فصلی
2 Mpq Xq Converse nonimplication
3 Fpq Np ¬p نقیض
4 Lpq Xp Material nonimplication
5 Gpq Nq ¬q نقیض
6 Jpq XOR ترکیبفصلی ضمنی
7 Dpq NAND نقیض عطفی
8 Kpq AND ترکیب عطفی
9 Epq XNOR اگر و تنها اگر نقیض فصلی ضمنی
10 Hpq q Projection function
11 Cpq XNp if/then ترکیب شرطی
12 Ipq p Projection function
13 Bpq XNq then/if ترکیب دوشرطی
14 Apq OR ترکیب فصلی
15 Vpq T true راستگو

ترکیب عطفی(AND)[ویرایش]

عملگری است که در آن دو قضیه به وسیله حرف عطف «و» با هم ترکیب می‌شوند. قضیه حاصل از ترکیب عطفی درست خواهد بود؛ اگر و فقط اگر هر دوی قضایای ساده تشکیل‌دهندة آن درست باشند. ترکیب عطفی p و q چنین نوشته می‌شود «p.q»

ترکیب عطفی
p q p ∧ q
د د د
د ن ن
ن د ن
ن ن ن

q و p اگر هر دو درست باشند، ترکیب عطفی p ∧ q درست است؛ اگر یکی از قضایای p و q یا هر دو نادرست باشند، آن گاه ترکیب عطفی p ∧ q نادرست است.

ترکیب فصلی(OR)[ویرایش]

هرگاه دو قضیه حملی ساده را با حرف «یا» ترکیب کنیم، قضیه مرکب تشکیل شده را ترکیب فصلی می‌نامند. تنها وقتی قضیه حاصل از ترکیب فصلی، نادرست خواهد بود که هر دو قضیه تشکیل‌دهنده آن نادرست باشد. ترکیب فصلی را به صورت « p ∨ q» یا « p || q» یا « p + q» نشان می‌دهند، و خوانده می‌شود: « p یا q»

ترکیب فصلی
p q p ∨ q
د د د
د ن د
ن د د
ن ن ن

ترکیب شرطی(IF)[ویرایش]

در ترکیب شرطی به صدق قضیه دوم در فرض صدق قضیه اول و کذب قضیه دوم حکم می‌شود. در ترکیب شرطی، قضیه اول را مقدم و قضیه دوم را تالی می‌گویند. ترکیب شرطی به صورت « p → q» یا « p ⇒ q» و خوانده می‌شود « اگر p آنگاه q» یا « p ایجاب می‌کند q را»

ترکیب شرطی
p q p → q
د د د
د ن ن
ن د د
ن ن د

ترکیب دو شرطی(IF ONLY IF)[ویرایش]

ترکیب دوشرطی برابری منطقی است و از دو ترکیب شرطی تشکیل می‌شود، که مقدم و تالی یکی از آن‌ها، به ترتیب مقدم و تالی دیگری باشد.ارزش ترکیب دوشرطی درست خواهد بود، اگر و فقط اگر، هر دو قضیه تشکیل‌دهنده ترکیب دوشرطی صادق یا کاذب باشند. ترکیب دوشرطی نوشته می‌شود: ، p ↔ q یا p ≡ q و خوانده می‌شود: « اگر و فقط اگر p آنگاه q» یا « q شرط لازم و کافی‌است برای p»

ترکیب دوشرطی
p q p ≡ q
د د د
د ن ن
ن د ن
ن ن د

ترکیب فصلی ضمنی(XOR)[ویرایش]

در ترکیب فصلی ضمنی، ارزش دو گزاره در این ترکیب درست خواهد بود، اگر و فقط اگر یکی از اجزای آن درست باشد، و نه هر دوی آن. ترکیب فصلی ضمنی را با علامت p ⊕ q نشان می‌دهند.

ترکیب فصلی ضمنی
p q p ⊕ q
د د ن
د ن د
ن د د
ن ن ن

عملگر NAND[ویرایش]

ایت عملگر دو عملوند دارد و فقط در حالتی نادرست است که هر دو عملوند نادرست باشند. آن را با ↑ نشان میدهند.

عملگر NAND
p q pq
د د ن
د ن د
ن د د
ن ن د

این عملگر هم ارز با (p ∧ q)¬ و (p) ∨ (¬q¬) است.

p q p ∧ q (p ∧ q (p) ∨ (¬q¬)
د د د ن ن ن ن
د ن ن د ن د د
ن د ن د د ن د
ن ن ن د د د د

عملگر NOR[ویرایش]

عملگر NOR دو عملوند دارد و فقط در حالتی درست است که هر دو عملوند نادرست باشند. آن را با ↓ نشان میدهند.

عملگر NOR
p q pq
د د ن
د ن ن
ن د ن
ن ن د

این عملگر با (p ∨ q)¬ و (p) ∧ (¬q¬) هم ارز است.

p q p ∨ q (p ∨ q (p) ∧ (¬q¬)
د د د ن ن ن ن
د ن د ن ن د ن
ن د د ن د ن ن
ن ن ن د د د د

کاربر های جدول درستی[ویرایش]

از جدول درستی میتوان برای اثبات روابط منطقی استفاده کرد. مثلا :

(pq) = (¬pq)
p q p pq
د د ن د د
د ن ن ن ن
ن د د د د
ن ن د د د

جدول درستی برای توابع پرکاربرد[ویرایش]

در زیر جدول درستی برای 6 تابع پرکاربرد امده است.

P Q P \land Q P \lor Q P \underline{\lor} Q P \underline{\land} Q P \Rightarrow Q P \Leftarrow Q P \iff Q
د د د د ن د د د د
د ن ن د د ن ن د ن
ن د ن د د ن د ن ن
ن ن ن ن ن د د د د

کاربرد جدول درستی در مدارهای منطقی[ویرایش]

در مدار های منطقی از جدول درستی استفاده میکنند تا ارتباط ورودی وو خروجی ها را به طور خلاصه و بدون استفاده از گیت ها و کد نشان دهند. برای مثال جدول درستی برای جمع دو عدد باینری یک بیتی در زیر امده است:

A B | C R
1 1 | 1 0
1 0 | 0 1
0 1 | 0 1
0 0 | 0 0

where

A = عملوند اول
B = عملوند دوم
C = نقلی  (Carry)
R = جواب 

توجه کنید که این جدول توابع لازم برای پیاده سازی را نشان نمیدهد و فقط ارتباط ورودی و خروجی را مشخص می کند.

در این حالت می توان آن را فقط برای ورودی های ساده و خروجی مانند 1 و 0 استفاده کرد و با افزایش تعداد ورودی و خروجی اندازه جدول افزایش می یابد.

مثال بالا را یک نیم جمع کننده می نامند. یک تمام جمع کننده علاوه بر ورودی های بالا یک نقلی ورودی C* نیز دارد. جدول درستی آن به صورت زیر است:

A B C* | C R
0 0 0  | 0 0
0 1 0  | 0 1
1 0 0  | 0 1
1 1 0  | 1 0
0 0 1  | 0 1
0 1 1  | 1 0
1 0 1  | 1 0
1 1 1  | 1 1

C* = زقم نقلی وروردی 

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ جدول ارزش موجود است.