نسبیت خاص

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تمبر پستی اتحاد جماهیر شوروی سابق که به آلبرت انیشتین اختصاص داده شده است

نسبیت خاص (به انگلیسی: (SR)Special Relativity) نظریه‌ای فیزیکی دربارهٔ اندازه گیری در چارچوب مرجع لخت است که در سال ۱۹۰۵ میلادی توسط آلبرت اینشتین در نوشتاری با نام "درباب الکترودینامیک اجسام متحرک" مطرح شد..[۱] گالیلئو گالیله قبلاً چنین اصلی را بیان نموده بود که تمام حرکات یکنواخت نسبی هستند و هیچ حالت سکون مطلق و تعریف شده‌ای وجود ندارد(چارچوب مرجع برتر وجود ندارد). این اصل امروزه اصل نسبیت گالیله خوانده می‌شود. انیشتین این اصل را با در نظرگرفتن پدیده سرعت ثابت نور گسترش داد؛ پدیده‌ای که به تازگی در آزمایش مایکلسون-مورلی مشاهده شده بود.[۲] او همچنین بیان نمود که این اصل برای تمام قوانین فیزیک صادق است که در آن زمان شامل قوانین مکانیک و الکترودینامیک می‌شد.[۳]

این نظریه پیامدهای گسترده‌ای دارد که مورد تایید داده‌های تجربی قرارا گرفته‌اند[۴] و شامل موضوعاتی غیر شهودی همچون انقباض طول، اتساع زمان و نسبیت همزمانی است. او مفهوم کلاسیک بازه زمانی ناوردا برای دو رویداد را با مفهوم ناوردایی بازه فضازمان تعویض کرد. می‌توان با استفاده از دو اصل نسبیت خاص و ترکیب آنها با سایر قوانین فیزیک به هم ارزی جرم و انرژی بر طبق اصل هم‌ارزی جرم و انرژی (E = mc۲) رسید که c در آن برابر با سرعت نور در خلا است.[۵][۶] پیش بینی‌های نسبیت خاص با مکانیک نیوتنی در قلمرو مشترکشان همخوانی دارند. به ویژه در مورد سرعتهایی که از سرعت نور بسیار کوچکتر هستند. تاثیر نسبیت خاص هنگام بررسی اجسام در حال حرکت با سرعت‌های بسیار زیاد (نزدیک به سرعت نور) قابل توجه می‌شود. بنابر این نظریهٔ نسبیت همانطور که اصل همخوانی فیزیک ایجاب می‌کند باید نتایج مشاهدات قبلی را به شکل کامل تری بیان کند. مقایسه رابطه بین مکانیک نیوتنی و مکانیک نسبیتی همانند مقایسه بین تبدیلات لورنتس و گالیله است و می‌توان مطلب فوق را به بیان ریاضی به شکل زیر نمایش داد:

\lim_{c \to \infty}(تبدیلات لورنتس) = (تبدیلات گالیله) ‎

البته در نظر داشته باشید که هنگامی که c به سمت بی نهایت میل می‌کند (همانگونه که پیش از اثبات متناهی بودن سرعت نور پنداشته می‌شد) کسر v/c به سمت صفر می‌رود. این بدان معناست که تبدیلات لورنتس که اساس نظریهٔ نسبیت خاص هستند در سرعت‌های بسیار کم نسبت به نور، نتایج یکسانی را با معادلات گالیله که اساس نسبیت نیوتونی هستند به دست می‌دهند. نظریه نسبیت خاص به ما می‌گوید که c تنها سرعت یک پدیده مشخص نیست بلکه یکی از ویژگیهای بنیادی شیوه‌ای است که فضا و زمان با یکدیگر به شکل فضا زمان یکپارچه گشته‌اند. یکی از پیامدهای این نظریه است که ذره‌ای که جرم لختی دارد هرگز سرعتش به سرعت نور نمی‌رسد.

واژه خاص در نسبیت خاص به نشانگر حالت خاصی است که این نظریه در آن صادق است. این نظریه اصل نسبیت را تنها در مورد ویژه چارچوبهای مرجع لخت به کار برده است. به عبارت دیگر این طور پنداشته شده است که چارچوبهای مرجع نسبت به یکدیگر با سرعت یکنواختی حرکت می‌کنند.[۷] انیشتین نسبیت عام را معرفی نمود و اصل نسبیت را در حالت کلی تری به کارگرفت تا برای هر چارچوبی که قادر به تغییر مختصات عمومی است، صادق باشد. این نظریه تاثیرات گرانشی را هم در نظر می‌گیرد.

این واژه امروزه کاربرد کلی تری پیدا کرده و برای ارجاع به هر موردی که در آن گرانش ناچیز است استفاده می‌شود. نسبیت عام تعمیمی بر نسبیت خاص است که گرانش را نادیده نمی‌گیرد. در نسبیت عام گرانش توسط هندسه نااقلیدسی توصیف می‌شود؛ به گونه‌ای که تاثیرات گرانشی با خمش فضازمان نمایش داده می‌شوند. نسبیت خاص تنهابه فضاهای تخت محدود است. همانگونه که خمش زمین در زندگی روزمره ناچیز به نظر می‌رسد خمش فضازمان نیز در مقیاسهای کوچک قابل صرف نظر کردن است و بنا بر این به صورت محلی نسبیت خاص تقریب قابل قبولی از نسبیت عام است.[۸]

محتویات

اصول[ویرایش]

بازتابهایی از این نوع برای من روشن ساخت که تا مدتی پس از سال ،۱۹۰۰ یعنی زمان کوتاهی بعد از کار پیشگامانه پلانک، نیز نه مکانیک و نه الکترودینامیک نمی‌توانستند ادعای درستی دقیق (به جز در موارد خاص) داشته باشند. به تدریج من از امکان یافتن قوانین واقعی با استفاده از تلاشهای سازنده برپایه حقایق دانسته شده نا امید شدم. هر چه بیشتر و از جان گذشته تر تلاش می‌نمودم بیشتر به این باور نزدیک می‌شدم که تنها کشف یک اصل رسمی جهانشمول می‌تواند مارا به نتایج مطمئنی برساند... چگونه می‌شد چنین اصلی یافت؟

—آلبرت انیشتین: یادداشتهای اتوبیوگرافی [۹]

انیشتین دو پنداشت پایه‌ای مطرح نمود که به نظر می‌رسید که بدون توجه به اعتبار قوانین شناخته شده- که در آن زمان یا مکانیکی و یاالکترودینامیکی بودند - قابل اطمینان باشند. این پنداشت‌ها ثابت بودن سرعت نور و دیگری استقلال قوانین فیزیکی (مخصوصا ثابت بودن سرعت نور) از دستگاه لخت انتخاب شده بود. در اولین ارائه نسبیت خاص در سال ۱۹۰۵، وی این اصول را به صورت زیر مطرح نمود:[۱]

  • اصل نسبیت
نوشتار اصلی: اصل نسبیت


قوانین فیزیک در تمام چارچوب‌های لَخت یکسان هستند و هیچ چهارچوب لخت مرجعی وجود ندارد.

این اصل که پیش از نسبیت خاص در نسبیت نیوتونی نیز بوده است بیان می‌کند که تمامی چهارچوپ‌هایی که با سرعتی ثابت (بدون شتاب) حرکت می‌کنند هم ارز و یکسان هستند، بدین ترتیب هیچ چهارچوب لختی بر چهارچوب دیگر برتری یا با دیگری تفاوت ندارد.

به سخنی دیگر اصل نسبیت (با در نظر گرفتن یک شرایط ایده‌آل) می‌گوید که اگر شما در آزمایشگاه سربسته‌ای قرار داشته باشید و آن آزمایشگاه با سرعت ثابتی نسبت به زمین حرکت کند، شما با هیچ روشی نمی‌توانید تعیین کنید که سرعت‌تان نسبت به زمین چقدر است. در این بیان از اصل نسبیت فرض شده است که زمین یک چارچوب لخت است (این موضوع دربارهٔ زمین به تقریب صادق است)، همچنین فرض شده است که شما نسبت به زمین به نرمی حرکت می‌کنید و آزمایشگاه هیچ لرزش و تکانی ندارد.

  • اصل سرعت ثابت نور
نوشتار اصلی: سرعت جهانی نور

"نور همواره در فضای خالی با سرعت مشخص c منتشر می شودکه مستقل از وضعیت جرکتی جسم منتشرکننده نور است " (از پیشگفتار)).[۱] این بدان معنی است که نور در خلا، حداقل در یک دستگاه مختصات لخت (دستگاه ثابت) با سرعت c(مقداری ثابت که مستقل از جهت است) و بدون توجه به وضعیت حرکتی منبع نور منتشر می‌شود. سرعت نور در خلاء برای تمام ناظران لَخت ثابت و برابر c است و به حرکت چشمهٔ نور یا حرکت ناظر بستگی ندارد.

به سخنی دیگر اگر شما سوار اتومبیلی باشید که با سرعت ۵۰ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند و اتومبیل دیگری با سرعت ۲۰ کیلومتر بر ساعت به شما نزدیک شود، سرعت نسبی اتومبیل شما و اتومبیل مقابل تقریباً برابر با ۷۰ کیلومتر بر ساعت خواهد بود، اما بر طبق این اصل اگر چشمهٔ نوری با سرعت دلخواهی به شما نزدیک شود و شما هم با سرعت متفاوتی به سمت آن چشمه حرکت کنید باز هم سرعت نور شما همان c خواهد بود. چنین چیزی کاملاً مخالف شهود روزمرهٔ ماست.

نسبیت خاص نه تنها بر این دو اصل آشکار بلکه بر چندین پنداشت ضمنی دیگر نیز وابسته است. از جمله این پنداشت‌ها می‌توان به همسانگردی و یکنواختی فضا و استقلال ساعت‌ها و میله‌های اندازه گیری از تاریخ گذشته‌شان اشاره نمود.[۱۰]

به دنبال ارائه نخستین نسبیت خاص توسط انیشتین در سال ۱۹۰۵ مجموعه‌های متعددی از اصول پیشنهاد شده است.[۱۱] اما رایج ترین مجموعه اصول همچنان همان اصولی هستند که توسط انیشتین در مقاله اصلی منتشر شدند. یک نسخه ریاضی از اصل نسبیت که بعدها توسط انیشتین ارائه شد عبارت است از:

اصل نسبیت خاص: اگر سیستم مختصات K برگزیده شود به گونه‌ای که در ارتباط با آن قوانین فیزیک در ساده ترین حالت خود به خوبی برقرار باشند، همان قوانین در ارتباط با هر دستگاه مختصات 'K دیگری نیز که در انتقال یکنواختی نسبت به K حرکت می‌کنند به خوبی صادق خواهند بود.[۱۲]

آنری پوانکاره با اثبات اینکه تبدیلات لورنتس زیرمجموعه‌ای از گروه پوانکاره در تبدیلات تقارنی هستند، چارچوبی ریاضیاتی برای نظریه نسبیت ارائه داد. بعدها انیشتین این تبدیلات را از اصولی که ارائه داده بود استنتاج کرد.

بسیاری از مقالات انیشتین مشتقاتی از تبدیلات لورنتس بر پایه این دو اصل را نمایش می‌دهند.[۱۳]

انیشتین همواره استنتاج ناوردایی لورنتس (هسته اصلی نسبیت خاص) را تنها برپایه دو اصل نسبیت و ثابت بودن سرعت نور بنا نهاده است. او اینچنین می‌نویسد:

بینش پایه‌ای در نظریه نسبیت خاص این است: پنداشتهای نسبیت و ناوردایی سرعت نور در صورتی سازگار هستند که اصولی که برای تغییر مختصاتها و زمانهای رخدادها بنا می شوندروابطی از یک نوع جدید ("تبدیلات لورنتس") باشند... از اصل جهانی نظریه خاص نسبیت درون این اصل قرار دارد: قوانین فیزیک نسبت به تبدیلات لورنتس ناوردا هستند (برای انتقال از یک دستگاه لخت به هر دستگاه لخت دلخواه دیگری که مورد نظر باشد). این یک اصل محدود کننده برای قوانین طبیعی است...[۹]

از این روی بسیاری از شکلهای امروزی نظریه نسبیت تنها آن را بر پایه اصل جهانی هم وردایی لورنتس و یا هم ارز آن یعنی اصل فضای مینکوفسکی، بنا می‌نهند.[۱۴][۱۵]

با استفاده از اصل نسبیت به تنهایی و بدون فرض ثابت بودن سرعت نور (یعنی با استفاده از همسانگردی فضا و تقارنی که از اصل نسبیت خاص نتیجه می‌شود) می‌توان نشان داد که تبدیلات فضازمان بین چارچوبهای لخت یکی از سه نوع اقلیدسی، گالیله‌ای و یا لورنتسی هستند. در مورد تبدیلات لورنتسی می‌توان به پایستگی بازه نسبیتی و یک محدودیت سرعت متناهی به دست آورد. آزمایشها نشان می‌دهند که این حد سرعت برابر سرعت نور در خلاء می‌باشد.[۱۶][۱۷]

انگیزه‌هایی که اندیشه ثابت بودن سرعت نور را به ارمغان آوردند، نظریه الکترومغناطیس ماکسول و نبود شواهد تجربی برای وجود اتر بودند. شواهد متناقضی در مورد اینکه تا چه حد انیشتین از نتیجه پوچ آزمایش آزمایش مایکلسون-مورلی تاثیر گرفته در دست است.[۱۸][۱۹] به هرترتیب نتیجه پوچ آزمایش میکلسون-مورلی کمک کرد تا مفهوم ثابت بودن سرعت نور مورد پذیرش گسترده و سریعی قرار گیرد.

نبود چارچوب مرجع مطلق[ویرایش]

اصل نسبیت که بیان می‌دارد هیچ دستگاه مرجع لخت برتری وجود ندارد، در حقیقت به زمان گالیله برمی گردد و درون فیزیک نیوتنی نیز راه داشته است. اما در اواخر قرن نوزدهم وجود امواج الکترومغناطیسی فیزیکدانان را برآن داشت تا پیشنهاد دهند که جهان از ماده‌ای به نام اتر پر شده است که همچون رسانه‌ای عمل می‌کند که امواج و ارتعاشات از آن می‌گذرند. گمان می‌شد که اتر چارچوب مرجع مطلق است که سرعتها را می‌توان بر اساس آن اندازه گرفت و خود آن بدون حرکت و ثابت است. خواص جالبی برای اتر پنداشته می‌شد: به اندازه کافی کشسان بود که بتواند امواج الکترومغناطیسی را پشتیبانی کند و این امواج می‌توانستند با ماده برهم کنش داشته باشند، با این وجود اتر در مقابل گذر اجسام از خود مقاومتی نشان نمی‌داد. نتایج آزمایشهای مختلف و از جمله آزمایش میکلسون-مورلی گویای این بودند که زمین همواره نسبت به اتر ثابت می‌ماند. چیزی که توضیح آن مشکل بود زیرا زمین در مداری به دور خورشید می‌گردد. راه حل انیشتین این بود که مفهوم اتر و حالت سکون مطلق را کنار بگذارد. نسبیت خاص به گونه‌ای فرمولبندی شده هیچ چارچوب مرجعی را ویژه نمی‌داند؛ بلکه در نسبیت هر چارچوب مرجعی که با سرعت یکنواخت حرکت کند همین قوانین فیزیک را مشاهده خواهد کرد. به طور ویژه سرعت نور در خلاء همواره در اندازه گیری‌ها برابر c است، حتی وقتی که توسط چندین دستگاه مختلف که با سرعتهای متفاوت اما یکنواختی حرکت می‌کنند.

چارچوب‌های مرجع، مختصات‌ها و تبدیلات لورنتس[ویرایش]

ترسیمی از یک مخروط نوری
نوشتار اصلی: تبدیلات لورنتس

نسبیت بر پایه مفهوم "چارچوب‌های مرجع" استوار است. در اینجا منظور از واژه چارچوب مرجع، یک ژرفانمایی (پرسپکتیو) مشاهده‌ای در فضاست که تغییری در حرکت آن رخ نمی‌دهد (شتاب ندارد) که از طریق آن می‌توان یک موقعیت را در امتداد سه محور فضایی اندازه گرفت. افزون براین یک چارچوب مرجع توانایی تعیین زمان رویدادها از طریق یک 'ساعت'(هر دستگاه مرجعی با تناوب یکنواخت) را دارد.

یک رویداد اتفاقی است که می‌توان یک زمان یکتا و مکانی در فضا نسبت به یک چارچوب مرجع نسبت داد: "نقطه" ای در فضازمان. از آنجاییکه سرعت نور در نسبیت در همه چارچوبهای مرجع ثابت است، می‌توان از پالس‌های نور برای اندازه گیری مطمئن فاصله‌ها و ارجاع به زمانهای که رویدادها برای ساعت اتفاق افتاده‌اند استفاده نمود. اگرچه که برای نور هم زمانی پس از شروع رویداد طول خواهد کشید تا به ساعت برسد.

مثلاً انفجار یک ترقه را می‌توان یک "رویداد" در نظرگرفت. می‌توان یک رویداد را به طور با استفاده از چهار مختصات فضازمان آن مشخص نمود. زمان رویداد و مکان فضایی سه بعدی اش یک نقطه مرجع می‌سازند. این چارچوب مرجع را S می‌نامیم. در نسبیت اعلب اغلب به محاسبه موقعیت یک نقطه از یک نقطه مرجع دیگ علاقه‌مندیم. فرض کنید که چارچوب مرجع دومی به نام ′S داریم که محورهای فضایی و ساعتش با محورهای فضایی و ساعت S در زمان صفر همزمان و هم مکان بوده‌اند، اما با سرعت ثابت v نسبت به S در امتداد محور ایکس‌ها حرکت می‌کند.

از آنجا که در نظریه نسبیت هیچ چارچوب مرجع مطلقی وجود ندارد، مفهوم موکدی از "حرکت" نیز وجود ندارد زیرا همه چیز همواره نسبت به چارچوب مرجع دیگری در حرکت است. به جای آن هرگاه دو چارچوب مرجع که باسرعت یکسان در جهت یکسان حرکت کنند، به آن حرکت همراه گفته می‌شود. بنا براین S و′S حرکت همراه ندارند. برای رویدادها مختصات فضازمان(t,x،y,z) در دستگاه S و (t′,x′,y′,z′) در دستگاه ′S تعریف می‌کنیم. تبدیل لورنتس بیان می‌کند که این دو مختصات به شیوه زیر در ارتباط هستند:

\begin{cases}
x' = \gamma \left(x - v t \right)\\
y' = y \\
z' = z \\
t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)
\end{cases}

که در آن \gamma = { 1 \over \sqrt{1 - \beta^2} } را فاکتور لورنتس می‌نامند و \beta = \frac{v}{c}. c سرعت نور در خلا است و وسرعت v دستگاه ′S در راستای محور xهاست. مختصات y,z تغییری نمی‌کنند و تنها مختصات x , t تبدیل می‌شوند. این تبدیلات لورنتس یک گروه تک پارامتر از نگاشت‌های خطی تشکیل می‌دهند که به آن پارامتر تندی (به انگلیسی: rapidity) می‌گویند. کمیتی که نسبت به تبدیلات لورنتس ناوردا باشد را کمیت نرده‌ای لورنتس می‌نامند.

چنانچه تبدیلات لورنتس و معکوسشان را برحسب اختلاف مختصاتها بنویسیم به گونه‌ای که مثلاً مختصات یک رویداد (x۱, t۱) and (x۱, t۱) باشد، مختصات رویداد دیگر (x۲, t۲) خوهد بود و (x۲, t۲) و اختلافها را به صورت زیر تعریف کنیم

 \begin{array}{ll}
\Delta x' = x'_2-x'_1 \ , & \Delta x = x_2-x_1 \ , \\
\Delta t' = t'_2-t'_1 \ , & \Delta t = t_2-t_1 \ , \\
\end{array}

به روابط زیر می‌رسیم

 \begin{array}{ll}
\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \,\Delta t) \ , & \Delta x = \gamma (\Delta x' + v \,\Delta t') \ , \\
\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \dfrac{v \,\Delta x}{c^{2}} \right) \ , & \Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \dfrac{v \,\Delta x'}{c^{2}} \right) \ ,\\
\end{array}

تبدیلات لورنتس که توسط ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی هندریک لورنتس با استفاده از روابط هندسی و دو فرض همسانگرد و همگن بودن فضا برای توجیه نظریهٔ اتر به دست آمد اساس نظریهٔ نسبیت خاص می‌باشد. همسانگرد بودن فضا بدین معناست که خواص آن در تمامی جهات یکسان است. همگن بودن فضا بدین معناست که خواص فضا به نقطه‌ای که شما در آن قرار دارید بستگی ندارد. فرض همسانگرد بودن فضا به ما اجازه می‌دهد که بتوانیم حرکت ذره را در راستای محور xها بررسی کنیم (یعنی از راستاهای y و z برای خلاصه سازی چشم پوشی کنیم)، فرض همگن بودن فضا تضمین می‌کند که این معادلات حتماً درجه اول هستند، یعنی تنها توان اول متغیرهای ما می‌توانند دخالت داشته باشند.(چون اگر به توان دوم یا درجات بالاتر بستگی داشته باشند اثبات می‌شود که آنگاه طول یک میله بستگی به نقطه‌ای از فضا که میله در آن قرار گرفته است دارد، یعنی مثلاً یک میله که بدون حرکت در ارتفاع ۵ متری قرار دارد با هنگامی که همان میله بدون حرکت در ارتفاع ۳ متری قرار دارد طول متفاوتی دارد و این خلاف شهود ماست)

نکته جالب توجه این است که این معادلات پیش از چاپ مقالهٔ آلبرت انیشتین در رابطه با الکترودینامیک دراجسام متحرک به دست آمده بود اما فرض وجود اتر و فضایی برای انتشار امواج الکترومغناطیس به قدری قوی بود که این تبدیلات به عنوان تلاشی برای اصلاح آن فرضیه عنوان شد. چند سال بعد انیشتین به گونهٔ دیگری با استفاده از دو پنداشتی که در پیش گفته شد به تبدیلات لورنتس رسید! همانگونه که خود انیشتین نیز گفته است: " تمامی نتایج نسبیت خاص می‌توانند از تبدیلات لورنتس به دست آیند."

پیامدهای ناشی از تبدیلات لورنتس[ویرایش]

دو اصل موضوع نسبیت خاص به همراه فرض‌های دیگری، مانند همگن و همسانگرد بودن فضا، منجر به نتایجی می‌شوند که همانند خودِ این اصل موضوع‌ها خلاف شهود و تجربه‌های روزمرهٔ ما هستند. با وجود این، این پیامدها بارها در آزمایش‌های گوناگون آزموده شده و مورد تأیید قرار گرفته‌اند. امروزه نسبیت خاص کاملاً پذیرفته شده است و جزئی از دانش عملی هر فیزیکدانی به شمار می‌آید. پیامدهای نسبیت خاص از تبدیلات لورنتس نتیجه می‌شوند.[۲۰] این تبدیلات و پیرو آن نظریه نسبیت خاص در مواردی که سرعتهای نسبی با سرعت نور قابل مقایسه می‌شوند نتایجی متفاوت با مکانیک نیوتنی تولید می‌کنند. سرعت نور بسیار بزرگتر از هرچیزی است که انسانها با آن سر و کار دارند از این رو آثاری که توسط نسبیت خاص پیش بینی شده‌اند در آغاز خلاف شهود به نظر می‌رسند.

نسبی بودن هم‌زمانی[ویرایش]

رویداد A با B در چارچوب مرجع سبز همزمان است، اما در چارچوب آبی قبل و در چارچوب قرمز بعد از B رخ می‌دهد.

دو رویداد در مکانهای مفاوت که در چارچوب مرجع یک ناظر لخت هم زمان رخ می‌دهند، ممکن است در چارچوب مرجع یک ناظر لخت دیگر غیر همزمان باشند.(نبود هم زمانی مطلق) اگر یک ناظر لخت دو پدیدهٔ آ و ب را هم‌زمان ببیند، ناظر لخت دیگری که با سرعت نسبت به ناظر اول حرکت می‌کند، بسته به شرایط ممکن است پدیدهٔ آ را زودتر، هم‌زمان، یا دیرتر از پدیدهٔ ب ببیند. هم‌زمانی در نسبیت خاص معنای مطلق و نیوتنی خود را از دست می‌دهد و پدیده‌ای نسبی می‌شود.

از معادله اول تبدیلات لورنتس بر حسب تغییر مختصات‌ها داریم

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \,\Delta x}{c^{2}} \right)

واضح است که دو رویداد که در چارچوب S هم زمان هستند (شرط Δt = ۰ صادق است)، الزاماً در دستگاه لخت دیگر ′S هم زمان نیستند. تنما در صورتی که این رویدادها در چارچوب S هم مکان باشند (شرط Δx = ۰ صادق باشد) در در دستگاه لخت دیگر ′S نیز هم زمان خواهند بود.

انقباض طول[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: انقباض طول ابعاد (مانند طول) یک شیء که توسط یک ناظر اندازه گیری می‌شوند ممکن است از نتایج اندازه گیری یک ناظر دیگر کوچکتر باشند.

مثلاً در نظر بگیرید که میله‌ای در یک سیستم نامشخص S درحال سکون و در امتداد محور x قرارگرفته است. در این دستگاه طول میله اندازه گیری شده Δx است. برای اندازه گیری طول این میله در دستگاه 'S که در آن ساعت در حال حرکت است، فواصل ′x تا نقاط انتهایی میله باید همزمان اندازه گیری شوند. به عبارت دیگر ویژگی اندازه گیری این است که Δt′ = ۰ که می‌توان آن را با معادله چهارم ترکیب کرد و رابطه بین Δx و ′Δx را به دست آورد

\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma}     برای رویدادهایی که     \Delta t' = 0 \

نیجه می‌شود که یک میله که در راستای طول خود در حرکت است، به چشم یک ناظر ساکن، کوتاه‌تر به نظر می‌رسد. به زبان ریاضی:


l'=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

'l طول میله از دید ناظر 'S است که با سرعت v نسبت به چارچوب S که میله در آن ساکن است، حرکت می‌کند. l طول میله در چارچوب سکون S است.

اتساع زمان[ویرایش]

مقالهٔ اصلی:اتساع زمان

بازه زمانی بین دو رویداد از یک ناظر به ناظر دیگر ثابت نیست. بلکه به سرعت نسبی چارچوبهای مرجع ناظرها بستگی دارد.

ساعتی را در نظر بگیرید که در دستگاه غیر ویژه S در حالت سکون قراردارد. بنا بر این بین دو تیک متوالی ساعت Δx = ۰ خواهد بود. برای اینکه رابطه بین زمانهای اندازه گیری شده بین تیک‌ها در هر دستگاه را بیابیم، می‌توانیم از معادله اول استفاده کنیم:

\Delta t' = \gamma\, \Delta t     برای رویدادهایی که     \Delta x = 0 \

این نشان می‌دهد که زمان ('Δt) بین دو تیک در دستگاهی که در آن ساعت حرکت می‌کند('S) طولانی تر از زمان (Δt) بین تیک‌ها که با ساعت چارچوب در حال سکون(S) اندازه گیری شده، خواهد بود. اتساع زمان شماری از پدیده‌های فیزیکی را توضیح می‌دهد. متلا می‌توان به کاهش نرخ میون‌های تولید شده توسط پرتوهای کیهانی در برخورد با جو زمین شاره کرد.[۲۱]

اگر ناظر S یک بازهٔ زمانی را \tau اندازه بگیرد، ناظر 'S همان بازهٔ زمانی را '\tau اندازه می‌گیرد:


\tau'=\frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

یعنی ناظر متحرک آن بازه را طولانی‌تر می‌بیند.

ترکیب سرعتها[ویرایش]

افزودن سرعتها چندان ساده نیست. اگر ناظر در S جسمی را در حال حرکت در امتداد محور x با سرعت u اندازه گیری نماید، ناظری که در دستگاه ′S (چارچوب مرجعی که نسبت به S با سرعت v در امتداد محور x حرکت می‌کند) قرار دارد جسم را در حال حرکت با سرعت 'u اندازه گیری خواهد کرد که با استفاده از تبدیلات لورنتس برای چارچوب ′S داریم

u'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma(dx-v dt)}{\gamma(dt-v dx/c^2)}=\frac{(dx/dt)-v}{1-(v/c^2)(dx/dt)}=\frac{u-v}{1-uv/c^2}

و در چارچوب S:

u=\frac{dx}{dt}=\frac{\gamma(dx'+v dt')}{\gamma(dt'+v dx'/c^2)}=\frac{(dx'/dt')+v}{1+(v/c^2)(dx'/dt')}=\frac{u'+v}{1+u'v/c^2} \

در نظر داشته باشید که اگر اجسام در چارچوب S در حال حرکت با سرعت نور بودند(u = c)در چارچوب دیگر 'S نیز با سرعت نور حرکت می‌کردند. همچنین اگر هر دو سرعت u و v نسبت به سرعت نور کوچک باشند به تبدیل شهودی تر گالیله‌ای برای سرعتها برمی گردیم.

u' \approx u-v \ .

مثالی که معمولاً در این مورد زده می‌شود مثال قطاری است (چارچوب S در بالا) که با سرعت v نسبت به ریلها (چارچوب S′) حرکت می‌کند. کودکی درون قطار توپ بیسبالی را به سمت شرق با سرعت u نسبت به قطار پرتاب می‌کند. در فیزیک کلاسیک ناظری که در حال سکون روی ریلها قرار دارد سرعت توپ بیسبال را

u = u′ + v

اندازه گیری خواهد نمود. در حالیکه در نسبیت خاص این درست نیست بلکه سرعت توپ بیسبال از معادله دوم به دست می‌آید:

(u = (u′ + v)/(۱ + uv/c۲

سایر پیامد ها[ویرایش]

چرخش توماس[ویرایش]

جهت گیری یک جسم (یعنی امتداد محورهایش نسبت به محورهای ناظر) برای ناظرین مختلف ممکن است متفاوت باشد. بر خلاف سایر آثار نسبیتی این پدیده در سرعتهای نسبتاً پایین هم مشخص می‌شود همان طور که در چرخش ذرات متحرک مشاهده می‌شود.

هم‌ارزی جرم و انرژی[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: هم‌ارزی جرم و انرژی چنانچه سرعت یک جسم از دید یک به سرعت نور نزدیک گردد، جرم نسبیتی آن افزایش می‌یابد و از درون چارچوب مرجع ناظر، ستاب گرفتن جسم هر لحظه دشوارتر و دشوارتر به نظر خواهد رسید.

محتوای انرژی جسمی در حال سکون با جرم m برابر با mc۲ است. پایستگی انرژی ایجاب می‌نماید که در هر واکنشی کاهش در مجموع جرم ذرات باید با افزایش در انرژی جنبشی ذرات پس از واکنش همراه باشد. و متشابها با کاهش انرژی جنبشی، جرم ذرات افزایش می‌یابد.

افزون بر مقالاتی که در بالا به آنها ارجاع داده شد، انیشتین حداقل چهار مقاله دیگر هم در مورد مباحث اکتشافی در مورد هم ارزی جرم و انرژی با رابطه E = mc۲ منتشر نمود.

هم ارزی جرم و انرژی از نتایج نسبیت خاص است. انرژی و تکانه که در مکانیک نیوتنی مجزا هستند، در نسبیت یک چهار-بردار تشکیل می‌دهند و بدین ترتیب مولفه زمان (انرژی) و مولفه مکان (تکانه) رابطه‌ای غیر بدیهی با یکدیگر خواهند داشت. برای شیئی که در حال سکون است، جهار-بردار انرژی-تکانه عبارت است از (E, ۰، ۰، ۰): یک مولفه زمان دارد که انرژی است و سه مولفه مکان که صفر هستندبا تغییر چارچوب از طریق تبدیل لورنتز در جهت x با سرعت کوچک v چهار-بردار انرژی-تکانه برابر (E, Ev/c۲, ۰، ۰) می‌گردد. تکانه برابر است با انرژی ضربدر سرعت تقسیم بر c۲. به این ترتیب جرم نیوتنی یک جسم که نسبت تکانه به سرعت است برابر با E/c۲ خواهد بود.

تکانه و انرژی از ویزگیهای ماده و تابش هستند و غیر ممکن است که بتوانیم تنها با استفاده از دو اصل نسبیت خاص بتوانیم نتیجه بگیریم که این دو تشکیل یک چهار-بردار می‌دهند. زیرا این اصول در مورد ماده و تابش حرفی نمی‌زنند و تنها از زمان و فضا سخن می‌گویند. بنابراین برای رسیدن به این نتیجه به استدلال فیزیکی بیشتری نیازمندیم. در مقاله سال ۱۹۰۵ خود انیشتین از اصول اضافه‌ای استفاده کرد که در مکانیک نیوتنی هم برای سرعتهای پایین صادق هستند، مثل اینکه در سرعتهای پایین تنها یک کمیت نرده‌ای انرژی و سه بردار تکانه وجود دارند و قانون پایستگی انرژی و تکانه دقیقاً در نسبیت صادق است. علاوه بر این او فرض نمود که انرژی نور نیز مانند بسامدش با همان فاکتور انتقال دوپلر تغییر می‌کند که قبلاً درستی آن را با استفاده از معادلات ماکسول نشان داده بود.[۱] نخستین مقاله انیشتین در این موضوع، مقاله "آیا لختی یک جسم به محتوای انرژی اش وابسته است؟" بود که در سال ۱۹۰۵ منتشرگردید.[۲۲] گرچه بحث‌های انیشتین در این مقاله تقریباً مورد پذیرش همگانی فیزیکدانان قرار گرفته است، اما نویسندگان بسیاری نیز در طول سال‌ها پیشنهاد داده‌اند که ممکن است این بحث‌ها نادرست باشند.[۲۳] سایر نویسندگان نیز براین باورند که چون این بحثها بر پایه فرضهای ضمنی بنا شده‌اند، بی نتیجه‌اند.[۲۴]

انیشتین وجود اختلاف نظر در مورد نتیجه گیریهایش را در مقاله‌ای در مورد نسبیت خاص در سال ۱۹۰۷ پذیرفته بود. در این مقاله او عنوان می‌کند که تکیه بر معادلات ماکسول برای بحث اکتشافی جرم انرژی مشکل زاست. بحث او در مقاله سال ۱۹۰۵ می‌تواند در مورد تابش هر ذره بدون جرمی برقرار باشد اما معادلات ماکسول به طور ضمنی مورد استفاده قرار گرفته‌اند تا مشخص شود که تابش نور می‌تواند تنها با انجام کار صورت گیرد. برای تابش امواج الکترومغناطیس تنها چیزی که باید انجام شود تکان دادن یک ذره بار دار است و این همان انجام کار است و در نتیجه تابش ناشی از انرژی است.[۲۵][۲۶]

یک انسان تا چه اندازه می‌تواند از زمین دور گردد؟[ویرایش]

از آنجا که هیچکس نمی‌تواند سریعتر از نور حرکت کند، ممکن است این گونه نتیجه گیری کنیم که اگر عمر مفید انسان را بین ۲۰ تا ۶۰ سال در نظر بگیریم، یک انسان نمی‌تواند بیشتر از ۴۰ سال نوری از زمین دور شود. اما این نتیجه گیری اشتباه است. به دلیل اتساع زمان یک سفینه خیالی می‌تواند در طول عمر مفید خلبان آن هزاران سال نوری را بپیماید. اگر سفینه طوری ساخته شود که با شتاب ثابت ۱g حرکت کند، در کمتر از یک سال سرعت آن برای ناظر زمینی تقریباً به سرعت نور می‌رسد. اتساع زمان عمر فرد را از دید ناظر زمینی افزایش می‌دهد اما ساعتی که با خلبان سفر می‌کند چنین تغییری نخواهد داشت. مردم روی زمین زمان بیشتری را نسبت به وی تجربه خواهند کرد یک سفر ۵ ساله وی ½۶ سال در زمین به طول می‌انجامد و مسافتی برابر ۶ سال نوری را طی خواهد کرد. یک سفر ۲۰ ساله برای وی (۵ سال شتاب گرفتن و ۵ سال کاهش سرعت، هرکدام دوبار) ۳۵۵ سال زمینی به طول می‌انجامد و در این مدت مسافت ۳۳۱ سال نوری را طی خواهد نمود.[۲۷] یک سفر ۴۰ ساله کامل با شتاب g در روی زمین ۵۸۰۰۰ سال به طول می‌انجامد و ۵۵۰۰۰ سال نوری را پوشش می‌دهد. یک سفر ۴۰ ساله با شتاب ۱٫۱g به مدت ۱۴۸۰۰۰ سال زمینی به طول می‌انجامد و مسافتی برابر ۱۴۰۰۰۰ سال نوری را پوشش خواهد داد. دلیل اینکه میونی که نزدیک به سرعت نور حرکت می‌کند مسافتی بیشتر از c ضرب‌در نیمه‌عمر آن طی می‌کند نیز همین پدیده اتساع زمان است.[۲۸]

علیت و ممنوعیت حرکت سریعتر از نور[ویرایش]

مخروط نور

در نمودار شکل مخروط نور، بازه AB یک 'زمان واره' است؛ یعنی چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن A و B در یک نقطه مکانی از فضا رخ می‌دهند و تنها از طریق رخ دادن در زمانهای مختلف از هم جدا می‌گردند. اگر در آن چارچوب A پیش از B رخ دهد در تمام چارچوب‌ها A پیش از B رخ خواهد داد. به صورت فرضی، ماده (یا اطلاعات) می‌تواند از A به B حرکت کند پس می‌تواند رابطه علیتی بین A و B وجود داشته باشد.(A علت و B معلول)

بازه AC در همان شکل یک 'فضاواره' است؛ یعنی چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن A و C در یک زمان رخ می دهندو تنها از نظر مکان از هم جدا هستند. در برخی چارچوب‌ها A پیش از C رخ می‌دهد و در برخی A پس از C رخ می‌دهد. اگر امکان این بود که رابطه علیتی بین A و C بوجود آید، با پارادوکس‌های علیت برخورد می‌کردیم. مثلاً اگر A علت باشد و C معلول، چارچوبهای مرجعی وجود خواهند داشت که در آنها معلول از علت از نظر زمانی پیشی می‌گیرد. اگر چه این به خودی خود پارادوکسی را پدید نمی‌آورد، اما می‌توان نشان داد[۲۹][۳۰] که سیگنالهایی که سریعتر از نور فرستاده شوند می‌توانند به گذشته فرد برگردند. اگر فرد سیگنال را تنها در صورتی بفرستد که هیچ سیگنالی در گذشته دریافت نکرده باشد به یک پارادوکس علیتی می‌رسیم.

بنابراین برای حفظ علیت، یکی از پیامدهای نسبیت خاص این است که هیچ سیگنال اطلاعاتی و یا جسم مادی نمی‌تواند سریعتر از سرعت نور در خلاء حرکت کند. با این حال برخی "چیزها" می‌توانند سریعتر از نور حرکت کنند. مثلاً مکانی که پرتو یک نورافکن به پایین ابرها برخورد می‌کند وقتی که نورافکن سریع می‌گردد می‌تواند سریعتر از نور حرکت کند.[۳۱]

حتی بدون در نظر گرفتن علیت هم دلایل دیگری نیز برای اینکه چرا در نسبیت خاص سرعتهای بیشتر از نور ممنوع است وجود دارد. مثلاً اگر نیروی ثابتی برای مدت نامحدودی به جسمی وارد شود، اگر از F = dp/dt انتگرال بگیریم، تکانه‌ای به دست می‌آوریم که بدون مرز رشد می‌کند. دلیل این امر این است که وقتی \, v به c میل می‌کند، p = m \gamma v \, به بی نهایت میل خواهد کرد. از دید ناظری که در حرکت شتابدار نیست، به نظر خوهد رسید که لختی جسم در حال افزایش است و از این رو همان نیرو شتاب کمتری ایجاد می‌نماید. این رفتار در شتاب دهنده‌های ذرات مشاهده شده است.

گونتر نیمتز و پتریسا اکل در مطالعات تجربی و نظری در مورد تونل‌زنی کوانتومی ادعا نمودند که سیگنالها ممکن است تحت شرایط خاصی سریعتر از نور حرکت کنند.[۳۲][۳۳][۳۴][۳۵] مشاهده شد که سیگنالهای دیجیتال فیبری با سرعتی در حدود پنج برابر سرعت نور و یک الکترون در تونلی با زمان صفر اطلاعات یونیزه شدن را منتقل نمود به گونه‌ای که فوتون‌ها، فونون‌ها و الکترون‌ها زمان صفر را در مانع تونل زنی گذراندند. بنا بر نیمتز و اکل، این فرایند تنها علیت انیشتین و نسبیت خاص را نقض می‌کند و علیت پایه‌ای را نقض نمی‌کند: انتشار با سرعت بیشتر از نور باعث سفر در زمان نمی‌شود.[۳۶][۳۷] ادعای نیمتز توسط بسیاری از دانشمندان رد یا مورد بحث قرارگرفته است.[۳۸][۳۹][۴۰][۴۱]

هندسه فضازمان[ویرایش]

مقایسه بین فضای تخت اقلیدسی و فضای مینکوفسکی[ویرایش]

مقایسه تعامد و چرخش در دستگاههای مختصات بین چپ: فضای اقلیدسی از طریق زاویه چرخشی φ, راست: in فضازمان مینکوفسکی از طریق زاویه هایپربولیک φ (خطوط قرمز با برچسب c خطوط جهانی سیگنال نور را مشخص می‌کنند، یک بردار بر خودش عمود است اگر روی این خطوط قرار گیرد).[۴۲]

نسبیت خاص از یک فضای مینکوفسکی تخت چهاربعدی - مثالی از یک فضازمان - استفاده می‌کند. فضای مینکوفسکی بسیار به فضای اقلیدسی سه بعدی استاندارد شبیه است اما در مورد زمان یک تفاوت اساسی با آن دارد.

در فضای سه بعدی دیفرانسیل فاصله (عنصرخط) ds در رابطه زیر تعریف می‌شود

 ds^2 = d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x} = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2,

که در آن dx = (dx۱, dx۲, dx۳) دیفرانسیل‌های سه بعد فضایی هستند. در هندسه مینکوفسکی یک بعد اضافه با مختصات x۰ دارد که از زمان ناشی می‌شود، به گونه‌ای که دیفرانسیل فاصله در رابطه زیر صدق کند

 ds^2 = -dx_0^2 + dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2,

که در آن dx = (dx۰, dx۱, dx۲, dx۳) دیفرانسیل‌های چهار بعد فضازمان هستند. این موضوع بینش نظری عمیقی در بر دارد: نسبیت خاص به سادگی یک تقارن چرخشی از فضازمان ماست که قابل مقایسه با تقارن چرخشی در فضای اقلیدسی است.[۴۳] همانطور که فضای اقلیدسی از متریک اقلیدسی استفاده می‌کند، فضازمان نیز از یک متریک مینکوفسکی استفاده می‌کند. اساساً می‌توان نسبیت خاص را ناوردایی هر بازه فضازمان (که در واقع فاصله چهاربعدی بین دو رویداد در فضازمان است) از دید ناظری در هر چارچوب مرجع لخت دلخواه تعریف کرد. تمام معادلات و تاثیرات نسبیت خاص را می‌توان از تقارن چرخشی (گروه پوانکاره) فضازمان مینکوفسکی نتیجه گرفت.

شکل واقعی ds به متریک و مختصات x۰ انتخاب شده بستگی دارد. برای اینکه مختصات را شبیه مختصات فضا بکنیم می‌توان آن را به عنوان یک عدد موهومی در نظر گرفت: x۰ = ict. میستر، تورن و ویلر در کتاب "گرانش" (۱۹۷۱، §۲٫۳) خود چنین می‌نویسند که سرانجام درک ژرف تری از هر دو نظریه نسبیت عام و خاص از طریق متریک مینکوفسکی وبا در نظرگرفتن x۰ = ct به جای یک متریک اقلیدسی نقاب زده با مقدار ict به عنوان مختصات زمان، حاصل خواهد شد.

فضازمان سه بعدی[ویرایش]

کره فضایی پوچ.

اگر یکی از ابعاد فضایی را کاهش دهیم تا بتوانیم فیزیک را فضای سه بعدی نمایش دهیم

 ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2,

خواهیم دید که ژئودزیک‌های پوچ در امتداد یک مخروط دو تایی (در شکل سمت راست) به معادله زیر قرارمی گیرند

 ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2,

ویا به سادگی

 dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2,

که معادله یک دایره به شعاع c dt است.

فضازمان چهار بعدی[ویرایش]

اگر آن را به سه بعد فضایی افزایش دهیم، ژئودزیک‌های پوچ مخروط‌های چهاربعدی هستند.

 ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

بنابراین

 dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2.

این مخروط دوتایی پوچ "خط دید" را در نقطه‌ای از فضا مشخص می‌کند، به این معنی که وقتی به ستارگان نگاه می‌کنیم و می‌گوییم "نوری که از ستاره به من ی رسد X سال عمر دارد"، در واقع ما در امتداد این خط دید را نگاه می‌کنیم:یک ژئودزیک پوچ. ما به رویدادی در فاصله d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} و در یک زمان d/c در گذشته می‌نگریم. به همین دلیل مخروط دوتایی پوچ "مخروط نور" نیز نامیده می‌شود.

مخروط در ناحیه t− اطلاعاتی است که نقطه دریافت می‌کند و مخروط ناحیه t+ اطلاعاتی است که نقطه می‌فرستد.

فضای مینکوفسکی را می‌توان با استفاده از نمودارهای مینکوفسکی نمایش داد که در فهمیدن بسیاری از آزمایشهای فکری در نسبیت خاص نیز کارساز هستند.

فیزیک در فضازمان[ویرایش]

معادلات نسبیت خاص را می‌توان به شکل هم وردای آشکار(به انگلیسی: Manifestly Covariant) نوشت (که در آن همه عبارتها تانسور هستند). موقعیت یک رویداد در فضازمان را توسط یک چهار-بردار پادوَردا (به انگلیسی: Contravariant four vectr) با مولفه‌های

x^\nu= (x^0, x^1, x^2, x^3)= (ct, x, y, z).

نمایش می‌دهند. ما x۰ = ct را تعریف می‌کنیم تا مختصات زمانهمان بعد فاصله‌ای را داشته باشد که سایر ابعاد فضایی دارند تا بدین وسیله برخورد یکسانی با فضا و زمان داشته باشیم.[۴۴][۴۵][۴۶] بالانویس ها در این بخش نمایشگر اندیس‌های پادورداها هستند و نه توان؛ مگر در مواردی که مربع یک عبارت را مشخص می‌نمایند. زیرنویس‌ها نمایشگر اندیس‌های همورداها هستند که مقادیری از ۰ تا ۳ می‌گیرند، مانند چهار-گرادیان میدان نرده‌ای φ:

\partial_\mu \phi = (\partial_0 , \partial_1, \partial_2, \partial_3)\phi = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right).

تبدیلات کمیتهای فیزیکی بین چارچوب‌های مرجع[ویرایش]

تبدیلات مختصات بین چارچوبهای مرجع لخت توسط تانسور تبدیلات لورنتس Λ به دست می‌آید. برای مورد خاص حرکت در امتداد محور x:

\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

که به سادگی ماتریس یک بالابردن (مانند چرخش) بین مختصات‌های x و ct است که در آن 'μ ردیف و ν ستون را نشان می‌دهند و

\beta = \frac{v}{c},\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

تبدیل یک چهار-بردار از یک چارچوب لخت به دیگری (برای سادگی انتقال‌ها را نادیده می‌گیریم) با تبدیلات لورنتس به دست می‌آید:

T^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} T^\nu

در جاییکه یک جمع زدن ضمنی 'μ و 'ν از ۰ تا ۳ نیز موجود باشد. تبدیل معکس به صورت زیر خواهد بود:

\Lambda_{\mu'}{}^{\nu} T^{\mu'} =  T^\nu

که در آن  \Lambda_{\mu'}{}^{\nu} ماتریس دوجانبه \Lambda^{\mu'}{}_{\nu} است.

در ورد تبدیلات لورنتس بالا در راستای x:


\begin{pmatrix}
ct'\\ x'\\ y'\\ z'
\end{pmatrix} = x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct\\ x\\ y\\ z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\gamma ct- \gamma\beta x\\
\gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z
\end{pmatrix}.

به صورت عمومی تر بیشتر کمیتهای فیزیکی به بهترین شکل توسط (مولفه‌های) تانسورها توصیف می‌شوند. بنابراین برای تبدیل از یک چارچوب به دیگری از قانون مشهور تبدیل تانسور استفاده می‌کنیم.[۴۷]

T^{\alpha' \beta' \cdots \zeta'}_{\theta' \iota' \cdots \kappa'} =
\Lambda^{\alpha'}{}_{\mu} \Lambda^{\beta'}{}_{\nu} \cdots \Lambda^{\zeta'}{}_{\rho}
\Lambda_{\theta'}{}^{\sigma} \Lambda_{\iota'}{}^{\upsilon} \cdots \Lambda_{\kappa'}{}^{\phi}
T^{\mu \nu \cdots \rho}_{\sigma \upsilon \cdots \phi}

که \Lambda_{\chi'}{}^{\psi} \, ماتریس معکوس \Lambda^{\chi'}{}_{\psi} است. تمام تانسورها با همین قانون تبدیل می‌شوند.

متریک[ویرایش]

آز آنجا که فضازمان ماهیتی چهاربعدی دارد، متریک مینکوفسکی از مولفه‌هایی دارد که می‌توان آن‌ها را در یک ماتریس ۴ × ۴ نمایش داد.

\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

که با معکوس خود برابر است، \eta^{\alpha\beta}

گروه پوانکاره کلی ترین گروه تبدیلات است که متریک مینکوفسکی را حفظ می‌کند.

\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!

واین تقارن فیزیکی سنگ بنای نسبیت خاص است.

ناوردایی[ویرایش]

مجذور طول دیفرانسیل چهار-بردار موقعیت dx^\mu \! که به صورت زیر به دست می‌آید،

d\mathbf{x}^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu \,dx^\nu = -(c \cdot dt)^2+(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2\,

یک ناوردا است. ناوردا بودن به این معناست که مقدار آن در تمام چارچوب‌ها یکسان است، زیرا یک کمیت نرده‌ای (تانسور با مرتبه صفر) است و از این رو در تبدیلات بدیهی اش عبارت Λ ظاهر نمی‌شود. توجه کنید که هرگاه عنصر خط، dx۲، منفی باشد،

d\tau=\sqrt{-d\mathbf{x}^2} / c

دیفرانسیل زمان ویژه است و اگر dx۲ مثبت باشد، √(dx۲) دیفرانسیل فاصله ویژه خواهد بود.

سرعت و شتاب در فضای چهاربعدی[ویرایش]

در نظر گرفتن کمیتهای فیزیکی به عنوان تانسور قوانین تبدیلشان را نیز ساده تر می‌سازد. چهار-سرعت Uμ به گونه زیر به دست می‌آید

U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \begin{pmatrix} \gamma c \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{pmatrix}.

با در دست داشتن این رابطه می‌توان قانون پیچیده ترکیب سرعتها را به رابطه ساده‌ای برای تبدیل چهار-بردار سرعت یک ذره از یک چارچوب به چارچوب دیگر تبدیل نمود. Uμ یک شکل ناوردا نیز دارد:

{\mathbf U}^2 = \eta_{\nu\mu} U^\nu U^\mu = -c^2 .

بنابراین تمام چهاربردارهای سرعت اندازه‌ای برابر c دارند. این به گونه‌ای بیانگر این واقعیت است که در نسبیت، مختصات در حال سکون وجود ندارد: حداقل شما همیشه در حال حرکت در زمان هستید. چهار-شتاب نیز از رابطه

A^\mu = d{\mathbf U^\mu}/d\tau \ . محاسبه می‌شود.

اگر از این معدله بوسیله τ، دیفرانسیل بگیریم معادله زیر حاصل می‌شود

2\eta_{\mu\nu}A^\mu U^\nu = 0. \!

بنابراین در نسبیت چهار-بردارهای سرعت و شتاب بر هم عمودند.

تکانه در فضای چهاربعدی[ویرایش]

تکانه و انرژی در یک چهار-بردار هم وردا با هم ترکیب می‌شوند

p_\nu = m \,\, \eta_{\nu\mu} U^\mu = \begin{pmatrix}
-E/c \\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{pmatrix}.

که در آن m جرم ناوردا است.

اندازه ناوردای چهار-بردار تکانه رابطه انرژی-تکانه را نتیجه می‌دهد:

\mathbf{p}^2 = \eta^{\mu\nu}p_\mu p_\nu = -(E/c)^2 + p^2 .

این ناوردا یک کمیت نرده‌ای است پس اهمیتی ندارد که در کدام چارچوب محاسبه می‌شود پس می‌توانیم آن را به چارچوبی تبدیل کنیم که در آن تکانه کل برابر صفر است.

\mathbf{p}^2 = - (E_\mathrm{rest}/c)^2 = - (m \cdot c)^2 .

می‌بینیم که انرژی سکون یک ناوردای مستقل است. انرژی سکون را می‌توان حتی برای ذرات و دستگاههای در حال حرکت نیز با انتقال آنها به چارچوبی که در آن تکانه صفر است، محاسبه کرد.

انرژی سکون طبق رابطه بنامی که قبلاً به آن اشاره شد، با جرم مرتبط است:

E_\mathrm{rest} = m c^2. \,

توجه کنید که جرم سامانه‌هایی که در مرکز چارچوب تکانه‌شان (که در آن تکانه صفر است) اندازه گیری می‌شوند برابر با انرژی کل سامانه در این چارچوب است. این مقدار ممکن است با مجموع جرم هریک از سیستمها که در چارچوبهای دیگر اندازه گیری شده‌اند برابر نباشد.

نیرو در فضای جهاربعدی[ویرایش]

قانون دوم حرکت نیوتن بیان می‌کند که کل نیروی وارد بریک ذره با نرخ تغییر تکانه اش برابر است. همین شکل از قانون دوم نیوتن در مکانیک نسبیتی نیز صادق است. سه-نیرو ی نسبیتی از رابطه زیر به دست می‌آید

 \mathbf{f} = d\mathbf{p}/dt

اگر از جرم نسبیتی استفاده شود:

\frac{d\mathbf{p}}{dt}= \frac{d(m\mathbf{u})}{dt}

با استفاده از قانون لایب نیتز d(xy)=xdy+ydx:

\mathbf{f} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}= m\frac{d\mathbf{u}}{dt}+\mathbf{u}\frac{dm}{dt}

اگر ذره با سرعت c حرکت نکند، می‌توان نیروی سه بعدی از چارچوب مرجع هم حرکت ذره به چارچوب مرجع ناظر تبدیل نمود. در نتیجه چهار-برداری خواهیم داشت که چهار-نیرو نامیده می‌شود و برابر است با نرخ تغییر چهار-بردار انرژی تکانه نسبت به زمان ویژه. شکل هم وردای چهارنیرو به صورت زیر است:

F_\nu = \frac{d p_{\nu}}{d \tau} = \begin{pmatrix} -{d (E/c)}/{d \tau} \\ {d p_x}/{d \tau} \\ {d p_y}/{d \tau} \\ {d p_z}/{d \tau} \end{pmatrix},

که در آن τ زمان ویژه است.

درچارچوب سکون جسم، مولفه زمان چهار-نیرو برابر صفر خواهد بود مگرآنکه "جرم ناوردای " جسم در حال تغییر باشد. که در آن صورت برابر با منفی نرخ تغییرجرم ضربدر c خواهد بود. به طور کلی مولفه‌های چهار-نیرو با مولفه‌های سه-نیرو برابر نیستند زیرا سه نیرو به صورت نرخ تغییر تکانه نسبت به مختصات زمان تعریف می‌شود(dp/dt)، در حالیکه چهار-نیرو را نرخ تغییر تکانه نسبت به زمان ویژه تعریف می‌کنیم(dp/dτ)

مکانیک کوانتومی نسبیتی[ویرایش]

ترکیب و یکپارچه سازی نسبیت خاص با مکانیک کوانتومی برای ایجاد مکانیک کوانتومی نسبیتی یکی از مسئله‌های حل نشده فیزیک است. گرانش کوانتومی و نظریه همه‌چیز شاخه‌های فعال مورد پژوهش هستند.

در سال ۱۹۲۸ پل دیراک، یک معادله موج نسبیتی ارائه داد که امروزه به نام وی معادله دیراک خوانده می‌شود[۴۸] و کاملاً با نسبیت خاص و نسخه نهایی نظریه کوانتومی سازگاری داشت. این نظریه نه تنها تکانه زاویه‌ای ذاتی الکترون (اسپین) را توضیح می‌داد بلکه به پیش بینی وجود پادذره الکترون (پوزیترون) انجامید.[۴۸][۴۹] ساختار ریز را تنها با نسبیت خاص می‌توان به طور کامل توضیح داد. در در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی، اسپین قابل توضیح نیست.

از سوی دیگر وجود پادذره‌ها به این نتیجه می اانجامد که یکپارچه سازی خام نسبیت و مکانیک کوانتوم امکانپذیر نیست در عوض یک نظریه میدان‌های کوانتومی مورد نیاز است که در آن ذرات می‌توانند در تمام فضا بوجود آیند و نابود شوند.(مانند الکترودینامیک کوانتومی و یا کرومودینامیک کوانتومی). این عناصر با مدل استاندارد فیزیک ذرات آمیخته می‌شوند.

وضعیت نظریه[ویرایش]

نسبیت خاص در فضای مینکوفسکی تنها هنگامی دقیق است که قدرمطلق پتانسیل گرانشی در ناحیه مورد نظر بسیار کمتر از c۲ باشد.[۵۰] در میدان گرانشی قوی باید از نسبیت عام یاری جست. نسبیت عام در محدوده میدانهای ضعیف به نسبیت خاص تبدیل می‌گردد. در مقیاسهای خیلی کوچک، مثلاً در طول پلانک و کمتر باید آثار کوانتومی را در نظر گرفت که گرانش کوانتومی را نتیجه می‌دهد. اما در مقیاسهای ماکروسکوپیک و در غیاب مادانهای گرانشی قوی نسبیت خاص در آزمایشهای تجربی دقت بالایی(۱۰−۲۰) را به نمایش می‌گذارد[۵۱] و از این رو از سوی جامعه فیزیک مورد پذیرش قرارگرفته است.

مکانیک نیوتنی از نظر ریاضی در سرعتهای کوچک از نسبیت خاص پیروی می‌کند و از این رو مکانیک کوانتومی را می‌توان مکانیک اجسام متحرک با سرعت پایین دانست. چندین آزمایش که پیش از مقاله ۱۹۰۵ انیشتین انجام شدند اکنون به عنوان گواهی بر درستی این نظریه به شمار می‌روند. از میان این آزمایشها، این آگاهی در دسترس است که انیشتین پیش از ۱۹۰۵ از آزمایش فیزو باخبر بود.[۵۲] برخی از تاریخ نگاران بر این باورند که انیشتین حداقل تا سال ۱۸۹۹ از آزمایش میکلسون-مورلی نیز آگاهی داشته است.[۱۹]

  • آزمایش فیزو(۱۸۵۱ و تکرار آن توسط میکلسون و مورلی در سال ۱۸۸۶) سرعت نور را در رسانه در حال حرکت اندازه گیری کرد که نتایج آن با افزودن سرعتهای هم خط در نسبیت، همخوانی دارند.
  • آزمایش بنام مایکلسون-مورلی (۱۸۸۱و۱۸۸۷) پشتوانه‌ای برای این اصل بود که سرعت مرجع مطلقی وجود ندارد.

شتاب دهنده‌های ذرات، به ذرات شتاب می‌دهند و ویژگیهای ذرات را در سرعتهای بالا نزدیک به سرعت نور اندازه می‌گیرند. در این سرعتها رفتار ذرات کاملاً با نظریه نسبیت همخوانی دارد و با مکانیک نیوتنی ناسازگار است. اگر این ماشینها بر اساس اصول نسبیتی مهندسی نشده بودند، نمی‌توانستند کار کنند. افزون بر این شمار زیادی از آزمایشهای جدید نیز برای آزمودن نظریه نسبیت انجام شده‌اند. از این دسته آزمایشها می‌توان به موارد زیر اشاره نمود:

انتقادات علیه نسبیت خاص اکثراً در سالهای نخستین انتشار نظریه در دهه ۱۹۰۰ وارد شدند و این نظریه را از دیدگاههای علمی، شبه علمی، فلسفی و ایدئولوژیک مورد انتقاد قرار دادند. با وجود اینکه برخی از این انتقادات از پشتیبانی دانشمندان بنام نیز برخوردار شدند، نظریه نسبیت امروزه به عنوان یک نظریه قائم بالذات و سازگار با شواهد تجربی شناخته می‌شود و پایه برخی از نظریات موفق از جمله الکترودینامیک کوانتومی می‌باشد

جستارهای وابسته[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ نسبیت خاص موجود است.

پیوند به بیرون[ویرایش]

آثار اصلی[ویرایش]

کلاس درس و جزوه‌های دانشگاهی[ویرایش]

نسبیت خاص برای مخاطبین عام (بدون نیاز به دانستن دانش ریاضی)[ویرایش]

  • Wikibooks: Special Relativity
  • Einstein Light [۲]، مقدمه‌ای غیر تخصصی (فیلم و نمایش‌هایی که با بسیاری از صفحات حاوی توضیحات مفصل تر برای سطوح مختلف بدو ن استفاده از ریاضیات و با استفاده از آن همراه شده).
  • Einstein Online مقدمه‌ای بر نظریه نسبیت، از انستیتوی فیزیک گرانشی ماکس پلانک
  • شنیداری: Cain/Gay (2006) - Astronomy Cast. نظریه نسبیت خاص انیشتین

توضیح نظریه نسبیت خاص (با کمک ریاضیات ساده و پیشرفته)[ویرایش]

تصویر سازی[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ آلبرت انیشتین (1905) "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17: 891؛ ترجمه انگلیسی On the Electrodynamics of Moving Bodies توسط جرج بارکر جفری و ویلفرید پرت (۱۹۲۳)؛ یک ترجمه انگلیسی دیگر On the Electrodynamics of Moving Bodies از مق ند ساها (۱۹۲۰).
  2. Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1. 
  3. Wolfgang Rindler (1977). Essential Relativity. Birkhäuser. p. §1,11 p. 7. ISBN 3-540-07970-X. 
  4. Tom Roberts and Siegmar Schleif (October 2007). "What is the experimental basis of Special Relativity?". Usenet Physics FAQ. Retrieved 2008-09-17. 
  5. Albert Einstein (2001). Relativity: The Special and the General Theory (Reprint of 1920 translation by Robert W. Lawson ed.). Routledge. p. 48. ISBN 0-415-25384-5. 
  6. Richard Phillips Feynman (1998). Six Not-so-easy Pieces: Einstein's relativity, symmetry, and space-time (Reprint of 1995 ed.). Basic Books. p. 68. ISBN 0-201-32842-9. 
  7. Albert Einstein, Relativity — The Special and General Theory, chapter 18
  8. چارلز میسنر, کیپ تورن & جان ویلر,Gravitation, pg 172, 6.6 The local coordinate system of an accelerated observer, ISBN 0-7167-0344-0
  9. ۹٫۰ ۹٫۱ Einstein, Autobiographical Notes, 1949.
  10. Einstein, "Fundamental Ideas and Methods of the Theory of Relativity", 1920
  11. Einstein, "Fundamental Ideas and Methods of the Theory of Relativity", 1920
  12. Einstein, A. , Lorentz, H. A. , Minkowski, H. , & Weyl, H. (1952). The Principle of Relativity: a collection of original memoirs on the special and general theory of relativity. Courier Dover Publications. p. 111. ISBN 0-486-60081-5. 
  13. Einstein, On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn from It, 1907; "The Principle of Relativity and Its Consequences in Modern Physics", 1910; "The Theory of Relativity", 1911; Manuscript on the Special Theory of Relativity, 1912; Theory of Relativity, 1913; Einstein, Relativity, the Special and General Theory, 1916; The Principle Ideas of the Theory of Relativity, 1916; What Is The Theory of Relativity?, 1919; The Principle of Relativity (Princeton Lectures), 1921; Physics and Reality, 1936; The Theory of Relativity, 1949.
  14. Das, A. , The Special Theory of Relativity, A Mathematical Exposition, Springer, 1993.
  15. Schutz, J. , Independent Axioms for Minkowski Spacetime, 1997.
  16. Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.
  17. David Morin, Introduction to Classical Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, chapter 11, Appendix I
  18. مایکل پولانی, Personal Knowledge: Towards a Post-Critical Philosophy, 1974, ISBN 0-226-67288-3, footnote page 10-11: انیشتین از طریق دکتر بالزاس و در پاسخ به پرسش پولانی اعلام نمود که "آزمایش میکلسون مورلی هیچ نقشی در پایه ریزی این نظریه نداشته است." و "نظریه نسبیت به هیچ وجه برای توجیه نتیجه این آزمایش بوجود نیامد.."[۱]
  19. ۱۹٫۰ ۱۹٫۱ خطای اسکریپتی
  20. Resnick, Robert (1968). Introduction to special relativity. Wiley. pp. 62–63. 
  21. Kleppner, Daniel; Kolenkow, David (1973). An Introduction to Mechanics. pp. 468–70. 
  22. Does the inertia of a body depend upon its energy content? A. Einstein, Annalen der Physik. 18:639, 1905 (ترجمه انگلیسی از W. Perrett وG.B. Jeffery)
  23. Max Jammer (1997). Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. Courier Dover Publications. pp. 177–178. ISBN 0-486-29998-8. 
  24. John J. Stachel (2002). Einstein from B to Z. Springer. p. 221. ISBN 0-8176-4143-2. 
  25. On the Inertia of Energy Required by the Relativity Principle, A. Einstein, Annalen der Physik 23 (1907): 371-384
  26. در نامه‌ای به کارل سیلینگ در سال ۱۹۵۵، انیشتین چنین می‌نویسد که "من قبلاً فهمیده بودم که نظریه ماکسول ریزساختار تابش را درنظر نگرفته است ودر نتیجه اعتبار عمومی ندارد".letter to Carl Seelig, 1955.
  27. Gibbs, Philip; Koks, Don. "The Relativistic Rocket". Retrieved 30 August 2012. 
  28. http://library.thinkquest.org/C0116043/specialtheorytext.htm Thinkquest org
  29. R. C. Tolman, The theory of the Relativity of Motion, (Berkeley 1917), p. 54
  30. G. A. Benford, D. L. Book, and W. A. Newcomb, The Tachyonic Antitelephone, Phys. Rev. D 2, 263–265 (1970) article
  31. Salmon, Wesley C. (2006). Four Decades of Scientific Explanation. University of Pittsburgh. p. 107. ISBN 0-8229-5926-7. , Section 3.7 page 107
  32. F. Low and P. Mende, A Note on the Tunneling Time Problem, Ann. Phys. NY, 210, 380-387 (1991)
  33. A. Enders and G. Nimtz, On superluminal barrier traversal, J. Phys. I, France 2, 1693-1698 (1992)
  34. S. Longhi et al. , Measurement of superluminal optical tunneling times in double-barrier photonic band gaps, Phys.Rev. E, 65, 06610 1-6 (2002)
  35. P. Eckle et al. , Attosecond Ionization and Tunneling Delay Time Measurements in Helium, Science, 322, 1525-1529 (2008)
  36. G. Nimtz, Do Evanescent Modes Violate Relativistic Causality?, Lect.Notes Phys. 702, 506-531 (2006)
  37. G. Nimtz, Tunneling Violates Special Relativity, arXiv:1003.3944v1
  38. Herbert Winful (2007-09-18). "Comment on "Macroscopic violation of special relativity" by Nimtz and Stahlhofen". arXiv:0709.2736 [quant-ph]. 
  39. Chris Lee (2007-08-16). "Latest "faster than the speed of light" claims wrong (again)". 
  40. Winful, Herbert G. (December 2006). "Tunneling time, the Hartman effect, and superluminality: A proposed resolution of an old paradox". Physics Reports 436 (1-2): 1–69. Bibcode:2006PhR...436....1W. doi:10.1016/j.physrep.2006.09.002. 
  41. تعدادی از مقالات در مقالات در زمینه آزمایشهای تونل زنی سریعتر از نور لیست شده‌اند
  42. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0. 
  43. J.R. Forshaw, A.G. Smith (2009). Dynamics and Relativity. Wiley. p. 247. ISBN 978-0-470-01460-8. 
  44. Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, Quantum Field Theory, pg 5 , ISBN 0-07-032071-3
  45. Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler,Gravitation, pg 51, ISBN 0-7167-0344-0
  46. George Sterman, An Introduction to Quantum Field Theory, pg 4 , ISBN 0-521-31132-2
  47. M. Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (illustrated ed.). Addison Wesley. p. 22. ISBN 0-8053-8732-3. 
  48. ۴۸٫۰ ۴۸٫۱ Dirac, P.A.M. (1930). "A Theory of Electrons and Protons". Proc. R. Soc. A126: 360. Bibcode:1930RSPSA.126..360D. doi:10.1098/rspa.1930.0013. JSTOR 95359. 
  49. C.D. Anderson: The Positive Electron. Phys. Rev. 43, 491-494 (1933)
  50. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007). Einstein's general theory of relativity: with modern applications in cosmology. Springer. p. 195. ISBN 0-387-69199-5. , Extract of page 195 (with units where c=1)
  51. The number of works is vast, see as example:
    Sidney Coleman, Sheldon L. Glashow, Cosmic Ray and Neutrino Tests of Special Relativity, Phys. Lett. B405 (1997) 249-252, online
    An overview can be found on this page
  52. Norton, John D., John D. (2004), "Einstein's Investigations of Galilean Covariant Electrodynamics prior to 1905", Archive for History of Exact Sciences 59: 45–105, Bibcode:2004AHES...59...45N, doi:10.1007/s00407-004-0085-6 

کتاب ها[ویرایش]

  • کلیفورد ام. ویل، آیا اینشتین درست می‌گفت؟: آزمون نسبیت عام، ترجمهٔ احمد شریعتی، انشارات وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی، ۱۳۸۳.
  • دانیل کلپنر و رابرت کلنکو، آشنایی با مکانیک، ترجمهٔ هوشنگ سپهری، محمد علی مقیمی، ولی الله ناصری، چاپ چهارم، مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۴.

مقالات ژورنال[ویرایش]