اصل ناوردایی

تعریف

بنابر اصل نسبیت در انتقال از یک چارچوب لخت به چارچوب لخت دیگر همه قوانین فیزیک، ‏فرم ریاضی ‏خود را حفظ می‌کنند. یا به اصطلاح ناوردا می‌مانند. لذا این ایده را ناوردایی ‏می‌گویند.

چگونگی ‏استفاده از ‏اصل ناوردایی

در اینگونه مسائل معمولاً یک حالت اولیه (فضای ابتدایی) وجود دارد و عملی نیز تعریف شده که در ‏هر گام انجام ‏می‌شود و معمولاً یک جالت به عنوان هدف نهایی معرفی می‌شود و سوال این است ‏که: آیا می‌توان با تکرار ‏این عمل به هدف نهایی رسید یا خیر؟ بنابراین مسائل این مقاله ۲ حالت ‏دارند:‏

۱- مسائلی که رسیدن به حالت هدف در آنها ممکن است:
این دسته از مسائل ‏جالبتر هستند، در این مسائل ‏معمولاً به دنبال یک تابع اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی ‏می گردیم. پس از یافتن این تابع تقریباً ۸۰٪ مسئله حل ‏شده‌است و از اینجا به بعد معمولاً ‏مسأله به ۲ روش حل می‌شود.

الف : از آنجا که تابع یکنواست ، به حالت تکراری برنمی خوریم چون بایست در این صورت ‏رشد تابع در ‏مواقعی به صورت عکس ادامه یافته باشد. اگر تعداد حالتهای(فضای) مسئله محدود ‏باشد چون در هر گام به یک ‏حالت جدید می‌رسیم پس این عمل نمی‌تواند بینهایت بار انجام ‏شود و بالاخره این عمل متوقف می‌شود و ‏معمولاً توقف عمل معادل حل مسئله‌است.‏

ب : تابع یکنواست و قدر مطلق رشد (یا نزول) آن از مقدار ‏e‏ بیشتر است حالا اگر تابع مورد ‏نظر یک کران بالا(یا ‏پایین) داشته‌باشد در این صورت این عمل متوقف خواهد شد. ممکن ‏است بپرسید مقدار ‏e‏ چرا لازم است: فرض ‏کنید هدف ما عدد ۲ است و حالت ابتدا عدد ۱ است ‏و در گام اول ۲/۱ در گام دوم ۱/۴ در گام سوم ۸/۱ و..... به ‏عدد ۱ اضاقه شود مشاهده می‌کنیم که همیشه می‌توان به عدد موجود عددی اضافه کرد و هیچ وقت هم این عدد ‏به ۲ نمی‌‏رسیم. از این نکته به لزوم ‏e‏ پی می‌بریم.‏

۲- مسائلی که رسیدن به حالت هدف در آنها ممکن نیست: در این مسادل معمولاً رابطهٔ ‏ثابتی می‌یابیم که با ‏هر عمل همچنان برقرار باقی می‌ماند. اگر در این رابطه برای حالت نهایی ‏‏(حالت هدف) برقرار نباشد، به ‏حالت نهایی نمی‌رسیم (به این روش استفاده از اصل همخوانی ‏هم می‌گویند).‏ حال استفاده اصل ناوردایی را در عمل خواهیم دید:‏

مثال‌های حالت اول

مثال ۱: فرض کنید ‏n‏ یک عدد طبیعی فرد است. در ابتدا تمام اعداد ۱، ۲، ۳.....، ‏۲n‏ روی تخته ‏سیاه نوشته شده‌اند‏. در هر مرحله ‏a‏ و ‏b‏ را از بین اعداد روی تخته سیاه پاک می‌کنیم و به جای ‏آنها عدد |‏a-b‏| را می‌نویسیم. در ‏نهایت تنها یک عدد باقی خواهد ماند. ثابت کنید این عدد ‏فرد است.‏

حل : فرض کنید ‏S‏ برابر مجموع اعدادی باشد که در هر مرحله روی تخته سیاه نوشته شده‌اند ‏در ابتدا ‏ $\frac{2n(2n+1)}{2}$ است که یک عدد فرد است. فرض کنید در یک مرحله ۲ عدد ‏a‏ و‏ b‏ را انتخاب کنیم. بدون ‏کاسته شدن از کلیت مسئله می‌توانیم فرض کنیم ‏a<=b‏ باشد در ‏اینصورت ‏a‏ و‏ b ‏ خط می‌خورند و به جای آنها ‏‏b-a‏ قرار می‌گیرد که در نتیجه مقدار ‏S‏ به ‏اندازهٔ ۲a کاهش می‌یابد بنابراین زوج یا فرد بودن ‏S‏ ثابت ‏می ماند. در ابتدا ‏S ‏ عددی فرد ‏است بنابراین عددی که در نهایت باقی می‌ماند نیز فرد است.‏

مثال ۲ : یک دایره را به ۶ بخش تقسیم کرده‌ایم و در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت ‏عددهای ‏‏۰، ۰، ۰، ۱، ۰، ۱ در این بخش‌ها نوشته‌ایم. شما می‌توانید در هر مرحله به دو عدد که در ۲ ‏بخش مجاور قرار ‏دارند بک واحد اضافه نمایید. آیا ممکن است به حالتی برسید که تمام اعداد ‏نوشته شده با هم برابر باشند؟‏

آیا ممکن است؟

حل : برای حل مسئله فرض می‌کنیم ‏A‏ مجموع اعداد بخش‌های اول و سوم و پنجم و ‏B‏، ‏مجموع اعداد ‏بخش‌های دوم و چهارم و ششم باشد، روشن است ‏A-B=۲ همیشه برقرار است. ‏چون در هر گام به هر یک از ‏عددهای ‏A‏ و ‏B‏ یک واحد اضافه می‌شود. بنابراین امکان ندارد ‏به حالتی برسیم که شش عدد با هم مساوی ‏باشند چون در آن حالت ‏A-B‏ برابر ۰ خواهد بود.‏

مثال‌های حالت دوم

مثال ۳ : در یک پارلمان هر نماینده حداکثر ۳ مخالف دارد. ثابت کنید این نمایندگان را می‌‏توان در ۲ خانه ‏قرار داد بطوری که هر نماینده در خانهٔ خود حداکثر ۱ مخالف داشته‌باشد.‏

حل : در ابتدا نمایندگان را بصورت دلخواه در ۲ خانه قرار می‌دهیم. فرض کنید ‏H‏ مجموع ‏تعداد مخالفان افراد ‏در خانه‌های خود باشند.‏ فرض کنید ‏A‏ در خانهٔ خود بیش از ۱ مخالف داشته باشد، بنابراین ‏A‏ حداکثر یک مخالف ‏در خانهٔ دیگر ‏دارد و می‌تواند به خانهٔ دیگر برود. اگر خانهٔ ‏A‏ عوض شود مقدار ‏H‏ کم ‏خواهد شد(مقدار ‏H‏ حداقل ‏یک واحد کمتر می‌شود). از آنجا که ‏H‏ یک عدد طبیعی و محدود ‏است این عمل نمی‌تواند همیشه ادامه یابد و ‏بالأخره متوقف خواهد شد. یعنی بعد از چند مرحله ‏دیگر کسی در خانهٔ خود بیش از یک دشمن ندارد که به ‏خانهٔ دیگر برود.‏

توجه :( در این از یک ایدهٔ جدید استفاده نمودیم. ما یک تابع اکیداً نزولی یافتیم که در هر ‏مرحله مقدار آن ‏کاهش می‌یابد و همیشه مقدار آن عددی صحیح و غیر منفی است از آن جا که ‏دنباله نامتناهی اکیداً نزولی از ‏اعداد صحیح و غیر منفی وجود ندارد، این دنباله بایستی یک ‏دنبالهٔ متناهی باشد.‏)

مثال ۴ : ‏ هر یک از اعداد‏ برابر ۱ یا -۱‏ هستند و داریم:

$S=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}+...+a_{n}a_{1}a_{2}a_{3}=0$

ثابت کنید ‏ ۴ n را عاد می‌کند.

حل :این یک مسئله در نظریهُ اعداد است برای حل مسئله باز هم از اصل‏ عدم همخوانی ‏استفاده کنیم. یکی از‏ a_iها را تغییر می‌دهیم و‏ تغییرات را بررسی می‌‏کنیم می‌بینیم که علامت ۴ جملهُ متوالی که شامل‏ آن است تغییر خواهد‏ کرد. اگر ‏هر ۴ جمله قبلاً هم علامت بودند، به اندازهُ ±۸ تغییر می‌کند‏ اگر ۲ تا مثبت و ۲ تا ‏منفی بودند، تغییری ‏نمی کند و‏ اگر ۳ تا هم علامت بودند و یکی از علامت مخالف، به اندازهُ ±۴ تغییر می‌کند‏. مشاهده می‌کنیم که ‏باقیمانده S در تقسیم بر ۴‏ نیز ‏ثابت باقی می‌ماند. حالا تغییرات را طوری انجام می‌دهیم که تمام‏ a_iها برابر ۱ ‏شود مشخص است که در این حالت‏ S=n خواهد شد ولی باقیماندهُ آن به ۴ تغییر ‏نکرده‌است یعنی باقیماندهُ بر ۴ برابر ۰‏ است.

پیوندهای مرتبط

• قضیه ناوردایی
• تابع دلتای ناوردا
• توزیع ناوردا
• برآوردگر ناوردا
• اندازه ناوردا
• ناوردا

منابع

• انگل، آرتور. استراتژی‌های حل مسئله، چاپ دوم . تهران: مبتکران ، ۱۳۸۴ . شابک ۵-۴۱۴-۳۹۵-۹۶۴
• http://mathworld.wolfram.com

کاربردها

• نسبیت کلاسیک
• پتانسیل_برداری_مغناطیسی
• نسبیت عام