سینماتیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

سینماتیک (Kinematic) توصیفی از حرکت است. حرکت یک ذره مهم کاملاً استفاده از سه مرحله جابه جایی و سرعت و شتاب را توصیف می‌کند. برای اجسام واقعی (که نقاط ریاضی نیستند) سینماتیک انتقالی حرکت مرکز جرم جسم را از طریق سرعت توصیف می‌کند. در حالی که سینماتیک زاویه‌ای چگونگی چرخیدن جسم در مرکز جرم را شرح می‌دهد. در این بخش ما فقط بر سینماتیک انتقالی متمرکز می‌شویم. جابجایی و سرعت و شتاب به شرح ذیل تعریف می‌شوند.

[ویرایش] مکان

Wiktionary بردار را تعریف می‌کند همانند "یک کمیت که دارای بزرگی و جهت است و به طور نمونه به عنوان یک ستون درجه بندی نوشته می‌شود". آن یک عدد یا شماره‌ای است که یک انتقال مستقیم به آن دارد. در فیزیک، یک بردار اغلب حرکت جسم را شرح می‌دهد. برای مثال Warty the Woodchuck با سرعت 35 فوت به طرف حفره‌ای در زمین حرکت می‌کند. ما می‌توانیم بردارها را به قسمت‌هایی که جزء "ترکیب کننده" نام دارند تقسیم کنیم که هر کدام از این اجزاء یک قسمت از بردار را شرح می‌دهند. معمولاً بردار به جزءهای x و y تقسیم می‌شوند.

[ویرایش] جابه‌جایی

{{| $\Delta \vec{x}\equiv\vec x_f- \vec x_i\,$ }}

جابه‌جایی به این پرسش که "آیا جسم حرکت کرده است؟" جواب می‌دهد. نماد $\equiv$ را یادداشت کنید. این نماد نوعی از نماد "برابری مافوق" (super equals) است که نشان می‌دهد $\vec x_f- \vec x_i$ نه تنها جابه‌جایی را برابر می‌کند $\Delta\vec{x}$ بلکه عمدتاً جابه جایی از طریق $\vec x_f- \vec x_i$ به طور عملی تعریف می‌شود. ما می‌گوییم $\vec x_f- \vec x_i$ که عمل (عملکرد) جابه جایی را تعریف می‌کند. زیرا $\vec x_f- \vec x_i$ عمل یک روش قدم به قدم برای مشخص کردن جابه جایی ارائه می‌دهد یعنی: 1. جایی که جسم در آغاز است را اندازه گیری کنید. 2. جایی که جسم در چند لحظه بعد قرار دارد را اندازه گیری کنید. 3. تفاوت بین ارزش این دو موقعیت را مشخص کنید. از یادداشت اینکه جابه جایی همان مسافت طی شده نیست مطمئن شوید. برای مثال یک بار مسافرت به طور محیط دایره را فرض کنید. اگر شما همان جایی که شروع کرده بودید تمام کنید جابه جایی شما صفر است اگر چه شما مسافتی را به طور آشکار طی کرده اید. در حقیقت جابه جایی میانگین مسافت طی شده است.در مسافرت شما به دور دایره میانگین حرکت شمال و جنوب شما همان میانگین حرکت شرق و غرب شماست. آشکارا ما بعضی از اطلاعات مهم خود را از دست می‌دهیم. راه حل دوباره به دست آوردن این اطلاعات استفاده از فاصله جابه جایی کوچکتر است. برای مثال به جای محاسبه کردن جابه‌جایی شما در طول دایره در یک مرحله طولانی، دایره تقسیم شده به 16 قسمت مساوی را در نظر می‌گیریم. مسافت طی شده در طول هر یک از این بخش‌ها را حساب می‌کنیم و سپس همه نتیجه‌ها را با هم در کنار هم جمع می‌کنیم. اکنون مسافت طی شده شما صفر نیست اما چیزی نزدیک به محیط دایره است. آیا مقدار تقریبی شما به اندازه کافی درست و خوب است؟ سرانجام، آن به سطح دقت شما که در اجرای دقیق نیاز دارید بستگی دارد، اما خوشبختانه شما همیشه می‌توانید از تجزیه‌های خوب و دقیق استفاده کنید. برای مثال ما توانستیم مسافت طی شده شما را به 36 قسمت مساوی برای بهتر شدن نتیجه تقریبی تقسیم کنیم. به سفر شما به دور دایره برمی گردیم. شما می‌دانید که مسافت درست به طور ساده همان محیط دایره است مشکل این است که ما اغلب برای مشخص کردن مسافت درست طی شده با یک محدودیت واقعی (عملی) مواجه می‌شوید. (برای مثال مسیر طی شده تعداد زیادی پیچ و تاب و فراز و نشیب دارد) خوشبختانه ما همیشه می‌توانیم جابه جایی را مشخص کنیم و به وسیله انتخاب دقیق مراحل به اندازه‌های کوچک و از جابه جایی برای به دست آوردن یک مقدار تقریبی درست و خوب برای مسافت طی شده استفاده کنیم. (ریاضیات حساب دیفرانسیل و انتگرال یک روش شناسی رسمی فراهم می‌کند به منظور تخمین رسمی یک "true value" ‌از طریق استفاده پی در پی از مقادیر تقریبی بهتر). در ادامه این بحث من میخواهم $Δ$ را با $δ$ جایگزین کنم برای نشان دادن اینکه مراحل به اندازه کافی کوچک جابه جایی استفاده می‌شده است برای فراهم کردن یک مقذار تقریبی به اندازه کافی خوب و درست برای مسافت طی شده شده درست.

[ویرایش] سرعت

{{| $\vec v_{av}\equiv \frac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$ }}

Δ، دلتا یک پیشوند قراردادی است برای دلالت کردن بر تفاوت‌ها یا اختلافات استفاده می‌شود. سرعت به این پرسش که "آیا جسم اکنون حرکت می‌کند با چه سرعتی حرکت می‌کند؟" جواب می‌دهد. یک بار دیگر ما یک تعریف عملی داریم: ما مراحل مورد نیاز را برای محاسبه سرعت می‌گوییم. این را یادداشت کنید که این یک تعریف برای سرعت متوسط است جابه‌جایی Δx برداری است که حاصل جمع جابه‌جایی‌های کوچکتر است که شامل آن هم می‌شود و بعضی از اینها ممکن است که تفریق شوند. در نتیجه مسافت طی شده مقداری است که حاصل جمع مسافت‌های کوچکتر است و همه اینها نامنفی هستند (آنها بزرگی جابه جایی هستند.) بنابراین مسافت طی شده می‌تواند بزرگتر از بزرگی جابه جایی باشد و همانند مثال سفر به دور دایره در بالاست. در نتیجه سرعت متوسط ممکن است کوچک (یا صفر یا منفی) باشد در حالی که سرعت مثبت است. اگر ما مراقب استفاده از مراحل جابه جایی کوچک هستیم بنابراین آنها خیلی به مقدار تقریبی مسافت طی شده نزدیک می‌شوند پس ما می‌توانیم تعریفی برای سرعت لحظه‌ای بنویسیم.

{{| $\vec v_{inst}\equiv \frac{\vec{\delta x}}{\delta t}$ }}

(δ حالت کوچک دلتا است) به عقیده محدود کردن حساب دیفرانسیل و انتگرال ما داریم

{{| $\vec v_{inst}\equiv \frac{d \vec x}{dt}$ }}

d]، شبیه Δ و δ صرفاً یک پیشوند است [با این وجود آن از تشخیص‌های قطعی استفاده می‌کند که این تفاوت به قدر کافی کوچک است. بنابراین خطا به وسیله مراحل (به جای تعویض یکنواخت) کمیت جزئی و ناچیز می‌شود.

[ویرایش] شتاب

| $\vec a_{av}\equiv \frac{\vec{v_f}-\vec{v_i}}{t_f-t_i}\equiv \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$

شتاب به این پرسش که "آیا سرعت جسم تغییر می‌کند؟ اگر تغییر می‌کند با چه سرعتی؟" یکبار دیگر ما یک تعریف عملی داریم. ما می‌خواهیم مراحل لازم برای حساب کردن شتاب را بگوییم. دوباره یادداشت کنید که اگر ما یک روش برای تعریف شتاب متوسط داریم. برای جابه جایی اگر مراقب استفاده از مجموعه‌ای از تغییرات کوچک سرعت هستیم. پس ما می‌توانیم تعریفی برای شتاب لحظه‌ای بنویسیم

{{| $\vec a_{inst}\equiv \frac{\delta\vec{v}}{\delta t}$ }}

یا به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم:

{{| $\vec a_{inst}\equiv \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d^2\vec x}{dt^2}$ }}

[ویرایش] بردار

توجه کنید که تعریف بالا برای جابه‌جایی و سرعت و شتاب شامل پیکان‌های کوچک مازاد در بسیاری از مراحل است. پیکان‌های کوچک به ما این را یاد آوری می‌کنند که مسیر (جهت) بخش مهمی درجابه جایی و سرعت و تغییر در سرعت و شتاب است. این کمیت‌ها همان بردارها هستند. طبق قرارداد پیکان‌های کوچک همیشه بر درستی دلالت می‌کنند. زمانی که بیشتر از یک حرف جا گرفت. بنابراین برای مثال $\vec v$ فقط به ما یادآوری می‌کند که سرعت یک بردار است و بر آن که این سرعت دقیق و جزیی است دلالت نمی‌کند. چرا ما به بردار نیاز داریم! به عنوان یک مثال ساده سرعت را در نظر بگیرید. دانستن اینکه جسم با چه سرعتی حرکت می‌کند کافی نیست. ما نیاز به دانستن اینکه با چه جهتی حرکت می‌کنیم داریم. بدون جزئیات در نظر بگیرید با چه تعداد راه متفاوت یک جسم توانسته شتاب را بیازماید(یک تغییر در سرعت آن) سرانجام سه راه مجزا (واضح) برای اینکه جسم بتواند شتاب بگیرد وجود دارد:

1. جسم بتواند سرعت بگیرد.

2. جسم بتواند از سرعت خود بکاهد.

3. جسم بتواند با سرعت ثابت مسافت را طی کند. زمانی که مسیر (جهت) حرکتش را تغییر بدهد.

(بیشتر شتابهای عمومی ترکیبی لز 1 و 3 یا 2 و 3 هستند) عمدتاً تغییر در جهت حرکت بیشتر از تغییر در شتاب (افزایش یا کاهش شتاب) است. در مکانیک کلاسیک هیچ جهتی با زمان پیوسته نیست (رابطه مستقیم ندارد). (شما نمی‌توانید به سه شنبه همین هفته اشاره کنید). بنابراین این تعریف $\vec a_{av}$ به ما می‌گوید که شتاب دیده خواهد شد هر جایی که تغییر در سرعت $\Delta\vec{v}$ دیده می‌شود. فهمیدن اینکه جهت $\Delta \vec{v}$ مسیر $\vec a$ را مشخص می‌کند شما را با سه روند ریاضیاتی اما با قاعده بسیار قوی راهنمایی می‌کند.

اگر سرعت و شتاب یک جسم همان جهت را نشان دهد سرعت جسم افزایش می‌یابد.
اگر سرعت و شتاب یک جسم جهت مخالف را نشان دهد سرعت جسم کاهش می‌یابد.
اگر سرعت و شتاب یک جسم بر هم عمود باشند سرعت جسم ثابت می‌ماند زمانی که جهت حرکت جسم تغییر یابد.

(دوباره، بیشتر حرکت‌های کلی (عمومی) به طور ساده ترکیبی از 1 و 3 یا 2 و 3 است) استفاده کردن از این قواعد ساده و به طور دراماتیکی به درک مستقیم شما از اینکه چه مشکلات جزئی (دقیق) اتفاق می‌افتد کمک می‌کند. در حقیقت بیشتر بیشتر ترم اولی‌های دانشکده فیزیک این سه روند را در اشکال متفاوت به طور ساده به کار می‌گیرند.

[ویرایش] معادله حرکت: شتاب ثابت

یک لفظ برای جابه جایی شتاب ثابت گفته می‌شود اگر سرعت با مقادیر مساوی با اختلاف زمانی مساوی تغییر کند شاید چگونگی جزء کردن فواصل اهمیت نداشته باشد.

{{| $\frac{d \vec a}{dt} = 0\ \mathrm{m\ s^{-2}}$ }}

از آنجایی که شتاب یک بردار شتاب ثابت است به این معنی است که هر دو جهت و بزرگی این بردار در طی حرکت تغییر نمی‌کند. این به این معنی است که شتاب متوسط و لحظه‌ای مساوی هستند. ما می‌توانیم از این برای مشتق گرفتن یک معادله برای سرعت به عنوان یک "تابع زمان" با کامل کردن شتاب ثابت استفاده کنیم.

{{| $\boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{v}(0)+\int\limits_{0}^{t}\boldsymbol{a}\ dt$ }}

دادن معادله بعدی برای سرعت همانند "تابع زمان"

{{| $\boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{v}_0+\boldsymbol{a}t$ }}

به منظور مشتق گرفتن از معادله برای قضیه (نظریه) ما به طور ساده برای سرعت معادله کامل می‌کنیم

{{| $\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}(0)+\int\limits_{0}^{t}\boldsymbol{v}(t)\ dt$ }}

کامل کردن دوباره معادله برای قضیه می‌دهد:

{{ | $\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{v}_0t+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}t^2$ |}} بعدی معادله حرکت است. آنها معادلات راحت و واضح هستند اگر شما برای مدتی درباره آنها تأمل کنید.