مکانیک لاگرانژی

مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در ۱۷۸۸ میلادی) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست (اصل کمترین کنش). بنا به تعریف، لاگرانژی تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. یعنی داریم:

$L = T - V \!$

در اینجا، تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژی کمینه شود. مثلاً، در ساده‌ترین حالت، کُنشِ مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$S = \int_{0}^{T}{({{1}\over{2}}m\dot{x}^2 - V(x))dt}$

در اینجا x خود تابعی از زمان است. $x = x(t)$. کمینه‌کردن کمیت S منجر به معادلاتی می‌شود که اصطلاحاً به آن‌ها معادلات اولر-لاگرانژ می‌گویند:

${\partial L\over{\partial x}}-{d\over{dt}}{\partial L\over{\partial \dot x}} = 0$

که می‌شود:

$m \ddot x = - {\partial V\over\partial x} = F$

که همان قانون دوم نیوتن است.

همانطور که می‌دانیم، دسترسی کلاسیک به مکانیک کوانتومی از طریق مکانیک همیلتونی صورت می‌پذرید. از طرف دیگر ریچارد فاینمن موفق شد از طریق مکانیک لاگرانژی به دسترسی مدرن‌تری به سوی مکانیک کوانتومی دست یابد که این دسترسی مدرن از طریق انتگرال مسیر فاینمن (یا انتگرال تابعی) امکان‌پذیر است.

جستارهای وابسته

• مکانیک همیلتونی
• مکانیک کوانتومی
• حسابان تغییرها
• نظریه میدان اسکالر
• نظریه میدان‌های کوانتومی
• انتگرال مسیر فاینمن

منابع

• Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, (Addison-Wesley, 1980)

پیوند به بیرون

• مکانیک لاگرانژی، دانشنامهٔ رشد