مکانیک هامیلتونی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مکانیک همیلتونی یا مکانیک هامیلتونی فورمول‌بندی دوباره و نمایش جدیدی‌ست از مکانیک کلاسیک. مکانیک همیلتونی در سال ۱۸۳۳ (م) توسّط ویلیام همیلتون و در پی پیدایش مکانیک لاگرانژی به‌وجود آمد، که خود آن فورمول‌بندی مجدّد ولی قدیمی‌تری‌ست از مکانیک قدیم. انگیزه‌ها و علل علمی اینگونه نمایش‌های پیاپی دانش فیزیک و مکانیک در قرون ۱۸ و ۱۹ میلادی را باید در تاریخ و فلسفهٔ علوم و به‌ویژه، در چگونگی آماده‌شدن زمینه‌ها برای تولّد مکانیک کوانتومی در اواخر سدهٔ نوزدهم جستجو نمود.

این صورت تازه‌تر از مکانیک کلاسیک، امکان آن را به‌دست می‌دهد که (همانند حالت مکانیک لاگرانژی) بتوانیم معادله حرکت ذرّات را بدون اعتنا به نیروهای وارده بر آنها و هندسهٔ پیچیدهٔ سیستم حاکم بر بعضی از آنها به‌دست آوریم. (مقایسه شود با مکانیک نیوتونی)

برای رسیدن به این فرمول‌بندی از طریق مکانیک لاگرانژی ما از تعریف «اندازه حرکت مزدوج»[۱] استفاده می‌کنیم، که به صورت زیر است:

p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}

در اینجا L تابع لاگرانژی نام دارد و \dot{q}_j «سرعت تعمیم یافته»[۲] است. به همین خاطر و به این ترتیب ما می‌توانیم «تابع همیلتونی» ( H\left(q_ip_i,t\right)) را توسط یک تبدیل لژاندر به وجود بیاوریم.

 H\left(\left\{q_i\right\},\left\{p_i\right\},t\right) = \sum_i  p_i \dot{q}_i - L\left(q_i,\dot{q}_i,t\right)

از این رو معادله‌های حرکتی همیلتونی که معادل با معادله لاگرانژی (به عبارت دیگر معادله حرکتی نیوتونی (\vec F=m\vec a)) هستند، به صورت زیر نوشته می‌شود:

{\dot{q}}_j =  { \partial H \over \partial p_j }
{\dot{p}}_j = -{\partial H \over \partial q_j}

فرمولبندی همیلتونی، راهی‌ست برای گذر از فیزیک کلاسیک و فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتومی که توسط هایزنبرگ انجام شد.

به طور خلاصه برای گذار از مکانیک کلاسیک به مکانیک کوانتومی کافی‌است که براکت پواسُن را تبدیل به عمل‌گر جابجایی هایزنبرگ کنیم. ساده‌ترین راه برای درک این موضوع از طریق معادلات همیلتون-ژاکوبی است.

پانوشته‌ها[ویرایش]

  1. Conjugate momentum
  2. Generalized volocity

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Goldstein، H. Classical Mechanics، second edition، (Addison-Wesley، 1980)
  • Arnold، V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics، 2nd ed.، Springer-Verlag (1989)، ISBN 0-387-96890-3