معادلات میدان اینشتین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادلات میدان اینشتین (EFE) یا معادلات اینشتین ۱۰ معادله تانسوری است که آلبرت اینشتین برای اولین بار در سال ۱۹۱۵ در نظریه نسبیت عام خود برای تشریح مبانی اساسی برهمکنشهای گرانشی که در نتیجه انحنای فضا-زمان توسط ماده یا انرژی بوجود می‌آیند ارائه داده‌است. مبنای اعتقادی برای تنظیم این معادله برای رد جاذبه نیوتنی این است که عامل جذب اجسام سبکتر توسط اجرام ثقیل انحنایی است که توسط این اجرام در فضا-زمان مجاورشان بوجود می‌آید. بدین منظور چون تانسور ریچی R_{\mu \nu}\, نماد انحناء در فضا-زمان و تانسور ضربه-انرژی T_{\mu \nu}\, نماد ماده (انرژی) در محاسبات تانسوری است بایستی رابطه خطی میان این دو بر قرار باشد، اما چون مشتق هموردا (کواریانت) T_{\mu \nu}\, صفر است

\nabla_b T^{ab}  \,  = T^{ab}{}_{;b}  \, = 0

مشتق هموردای طرف دیگر تساوی نیز باید صفر باشد که برای R_{\mu \nu}\, اینچنین نیست لذا اینشتین جهت برطرف نمودن این مشکل ترکیبی از ریچی و اسکالر ریچی R\, را از طریق اتحاد بیانچی بدست آورد که مشتق کواریانت آن صفر می‌باشد و به تانسور اینشتین معتبر است

G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu},

بنابراین با قرار دادن این عبارت بعنوان نماد انحناء در معادله و با استفاده از معادله گرانش پواسن می‌توان ضریب تناسب را محاسبه نمود و نهایتاً داریم

G_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^2} T_{\mu \nu}.

اما اینشتین بعدها برای توضیح جهان شتاب‌دار ثابت کیهانشناسی \Lambda\, را نیز در معادله دخیل کرد

G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^2} T_{\mu \nu}.

و یا به فرم مفصل

R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^2} T_{\mu \nu} \,.

با تنجادن این معادله در سنجه g_{\mu \nu}\, می‌توان گفت

R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^2} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over 2}T\,g_{\mu \nu}\right) \,.

برخی از مواقع با در نظر گرفتن آحادی به صورت G = c = ۱ می توان آن را به فرم رایج زیر

G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.

بازنویسی نمود. حل این معادلات برای نواحی بدون جرم یا انرژی (خلاء) منجر به متریک شوارتزشیلد و برای نواحی جرم دار (درون ستاره ای) منجر به معادله تولمن-اوپنهایمر-ولکوف می شود.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]