معادلات ماکسول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
الکترومغناطیس
VFPt Solenoid correct2.svg
برق · مغناطیس

معادله‌های ماکسول، معادله‌هایی هستند که چگونگی ایجاد شدن میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانات الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر میدان دیگر را توصیف می‌کنند. این معادله‌ها مبانی الکترومغناطیس (کلاسیک) و مهندسی برق به شمار می‌روند که اولین بار توسط فیزیکدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول فرمول‌بندی شده‌اند. انواع فرمولبندی برای این معادله‌ها می‌توان ارائه داد.خود ماکسول این معادلات را در قالب ۸ معادله فرمولبندی کرده بود ولی در حالت ۳ بعدی مشهورترین فرمول بندی فرمول‌بندی هوی‌ساید این معادلات است که دو فرم دیفرانسیلی و انتگرالی دارد.

فرم هوی‌ساید این معادله‌ها عبارت هستند از:

نام معادله معادلهٔ دیفرانسیلی معادلهٔ انتگرالی
قانون گاوس: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV
غیر موجودیت تک‌قطبی مغناطیسی
(قانون گاوس در مغناطیس):
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
قانون القای فارادی: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
قانون آمپر به علاوه مکمل ماکسول: \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

در اینجا \rho چگالی بار الکتریکی \mathbf J چگالی جریان الکتریکی، \mathbf E شدت میدان الکتریکی، \mathbf B شدت میدان مغناطیسی و   \mathbf D و \mathbf H میدانهایی هستند که توسط چگالی قطبیت الکتریکی و مغناطیسی (به ترتیب \mathbf{P} و \mathbf{M}) در ماده تعریف می‌شوند. در صورتی که مادهً ما خطی باشد، داریم:

 \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
 \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}

و برای این دو میدان به دست می‌آوریم:

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ 
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
= \ \ \mu \mathbf{H}

فرم تانسوری[ویرایش]

فرم تانسوری چهاربعدی این معادلات این گونه است:

\partial _{\mu }F ^{\nu \mu }=4~\pi J ^{\nu }\,
\partial _[{\mu }F _{\nu \lambda ]}=0\,

معادله دوم به اتحاد بیانکی مشهور است.

معادلات ماکسول[ویرایش]

معادلات ماکسول مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل مشتقات جزئی است که همراه با قانون نیروی لورنتس، تشکیل بنیاد کلاسیک الکترودینامیک، اپتیک کلاسیک و مدارهای الکتریکی را می دهد . این رشته ها به نوبه خود زمینه برق و ارتباطات فناوری مدرن هستند . معادلات ماکسول پس از فیزیکدان و ریاضیدان اسکاتلندی جیمز کلرک ماکسول نامگذاری شده است، زیرا در شکل اولیه آنها همه در یک مقاله چهار بخشی، "در خطوط فیزیکی از نیروی"، که او در میان سال های 1861 و 1862 منتشر شده است . فرم ریاضی قانون نیروی لورنتس نیز در این مقاله ظاهر شد . معادلات راه حل هایی که انتشار امواج در خلاء با یک سرعت ثابت را توصیف می کند. ماکسول همچنین تذکر داد که این سرعت با سرعت هم اندازه نور ، و به درستی حدس زده است که نور، مانند امواج رادیویی و اشعه X ، صورتی از تابش الکترومغناطیسی در محدوده طول موج خاص است. معادلات ماکسول توصیف می کند که میدان های الکتریکی و مغناطیسی چگونه تولید می شوند و با بار و جریان در تغییر هستند. . معادلات دارای دو نوع تغییر اصلی هستند . "میکروسکوپی" مجموعه ای از معادلات ماکسول که از بار کل و جریان کل شامل سطح مشکل به محاسبه اتمی بار و جریان در مواد استفاده می کند. "ماکروسکوپی" مجموعه ای از معادلات ماکسول که دو رشته کمکی تعریف می کند که می توانیم گام به گام این بارهای "اتمی" اندازه گیری شده را بدانیم. نوشتن معادلات ماکسول به اشکال دیگر که هنوز هم "معادلات ماکسول" نامیده می شوند اغلب مفید است.چندین فرمول طبیعی تعریف شده در چهار بعد فضا زمان، نسبتاً فضا و کاملاً زمان ، که آشکارا سازگار با نسبیت خاص و عام هستند وجود دارد. چنین چهار فرمول ابعادی به طور معمول در فیزیک انرژی بالا و گرانشی استفاده می شوند. در مکانیک کوانتوم، نسخه بر اساس پتانسیل های الکتریکی و مغناطیسی هستند ترجیح داده می شود. از آنجا که معادلات ماکسول دلالت بر سرعت ثابت نور دارند، آنها مدت ها معتقد بودند که این فقط برای یک ناظرساکن با توجه به فرض "اتر" معتبر است . انیشتین، در تئوری ویژه نسبیت نظریه ای به جای معادلات ماکسول داد که برای ناظر دلخواه(ساکن و متحرک) معتبر بود ، و نشان داد که این مفاهیم ازنظر فیزیکی مستقل از فضا و زمان ناظراست. از اواسط قرن 20، فهمیده شد که، با این حال، که معادلات ماکسول،قوانین دقیق جهانی نیستند اما تقریب دقیق تر از نظریه اساسی الکترودینامیک کوانتومی است.

توضیح مفهومی[ویرایش]

به صورت مفهومی، معادلات ماکسول توصیف می کند چگونه بارهای الکتریکی و جریان های الکتریکی به عنوان منابع برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی عمل می کنند . علاوه بر این، آن را توضیح می دهد که چگونه یک میدان الکتریکی متغیر با زمان یک میدان مغناطیسی متغیر با زمان تولید می کند و بالعکس. (برای توصیف ریاضی از این قوانین پایین را ببینید.) معادله از چهار معادله، دوتا از آنها، قانون گاوس و قانون گاوس برای مغناطیس، توصیف چگونه میدان ها از بارها سرچشمه می گیرند. (برای میدان مغناطیسی شارژ مغناطیسی و در نتیجه خطوط میدان های مغناطیسی در هیچ جا نه ابتدا و نه انتها وجود ندارد.).دو معادله دیگر توصیف می کند که چگونه میدان به دور منابع مربوطه در گردش می باشند؛ میدان مغناطیسی در اطراف جریان های الکتریکی و میدان الکتریکی مختلف در قانون آمپر با اصلاح توسط ماکسول، در حالی که میدان الکتریکی در اطراف میدان های مغناطیسی مختلف در قانون فارادی "گردش"می کند.

قانون گاوس[ویرایش]

قانون گاوس ارتباط بین میدان الکتریکی و بارهای الکتریکی را توصیف می کند که به موجب آن: خطوط میدان الکتریکی به دور از بارهای مثبت و به سوی بار منفی است. در زمینه شرح خطوط میدان، خطوط میدان الکتریکی شروع تنها در بارهای مثبت الکتریکی و انتهای آن در بارهای منفی الکتریکی است. شمارش تعداد خطوط میدان در یک سطح بسته، بنابراین، کل بار احاطه شده توسط آن سطح است . به اصطلاح فنی تر،آن مربوط شار الکتریکی را از طریق هر سطح بسته فرضی "سطح گاوسی" به بار الکتریکی محصور است.

قانون مغناطیسی گاوس[ویرایش]

قانون مغناطیسی گاوس بیان می کند که هیچ "بار مغناطیسی" وجود ندارد(تک قطبی های مغناطیسی هم نامیده می شود)، شبیه به بارهای الکتریکی است. به جای آن، میدان مغناطیسی به دلیل مواد پیکربندی به نام دو قطبی ساخته شده اند. دو قطبی های مغناطیسی به عنوان بهترین حلقه های جریان نشان داده شده، اما شبیه بارهای مغناطیسی مثبت و منفی، جداناپذیر به یکدیگر متصل می شوند، هیچ بار مغناطیسی خالصی وجود ندارد. در خطوط میدان، این معادله می گوید که خطوط میدان مغناطیسی و نه شروع می شوند و نه پایان می پذیرند، بلکه حلقه ها و گسترش تا بی نهایت ایجاد میکند و برگشت میکند. به عبارت دیگر، هر خط میدان مغناطیسی که وارد یک حجم میشوند باید در جایی از آن خارج شوند. معادل فنی جملات این است که مجموع شار مغناطیسی را از طریق هر سطح گاوسی، صفر است، یا این که میدان مغناطیسی یک میدان برداری سلنوئیدی است.

قانون فارادی[ویرایش]

قانون فارادی توصیف می کند که چگونه میدان مغناطیسی متغیر با زمان یک میدان الکتریکی " القاء " میکند. این جنبه از القای الکترومغناطیسی باعث ایجاد عامل پشت بسیاری ژنراتورهای الکتریکی است: به عنوان مثال، چرخش آهنربا باعث ایجاد زمینه تغییر مغناطیسی، که باعث تولید میدان الکتریکی در نزدیکی سیم است. (توجه : دو معادله ی مرتبط با هم وجود دارد که قانون فارادی نامیده میشود.شکل استفاده شده در معادلات مکسول همیشه معتبراست اما محدود تر از فرم عمومی آن توسط مایکل فارادی است.)

قانون آمپر با تصحیح ماکسول[ویرایش]

نوشتار اصلی: Ampère's law with Maxwell's correction
آن وانگ's magnetic core memory (1954) is an application of قانون آمپر. Each core stores one bit of data.

قانون آمپر با تصحیح ماکسول بیان میکند که میدان مغناطیسی را می توان به دو روش تولید کرد:با جریان الکتریکی (این اصل "قانون آمپر" بود) و با تغییر میدان الکتریکی (این "تصحیح ماکسول" بود). تصحیح ماکسول به قانون آمپر بسیار مهم است: آن را نشان می دهد که نه تنها نتیجه تغییرات میدان مغناطیسی القای میدان الکتریکی است، بلکه تغییر الکتریکی موجب القای یک میدان مغناطیسی است. بنابراین، این معادلات به" امواج الکترومغناطیسی " اجازه می دهد به صورت خودکار از بین فضای خالی عبورکنند. (مراجعه کنید به معادله موج الکترومغناطیسی). سرعت محاسبه شده برای امواج الکترومغناطیسی، که می تواند از آزمایشات بار و جریان پیش بینی شود، دقیقاً منطبق با سرعت نور و در واقع، نور یک شکل از پرتوهای الکترومغناطیسی است (به عنوان اشعه های ایکس، امواج رادیویی، و ...). ماکسول ارتباط بین امواج بین الکترمغناطیس و نور را در سال 1861 فهمید . به دنبال آن متحد شدن تئوری الکترو مغناطیس و اپتیک ها.

فرمول متداول در واحدهای SI[ویرایش]

فرمول دقیق ازمعادله ماکسول، بستگی به تعریف دقیقی از مقدار مربوط است . قراردادهای سیستم واحد متفاوت است به دلیل تعاریف مختلف (وابعاد) با جذب عوامل ابعاد مانند سرعت نور C تغییر کرده است. این باعث می شود ثابت خروجی متفاوت باشند . معادلات این بخش در قراردادهای با استفاده از واحدهای SI داده شده است. واحدهای دیگر که معمولاً استفاده می شود عبارتند از واحد گاوسی بر اساس سیستم(CGS) واحد لورنتس(Heaviside) (عمدتاً درفیزیک ذرات استفاده می شود)،و واحدهای پلانک (که در رشته فیزیک نظری مورد استفاده قرار می گیرند). پایین را نگاه کنید برای فرمول های با واحدهای گاوسی است. معادلات زیر فرمول های مرسوم از معادلات ماکسول وابسته به زمان در فضای 3 بعدی با استفاده از زبان بردار هستند. نمادهای پررنگ (bold) مربوط به مقادیر بردار، و نمادهای کج (ایتالیک) نشان دهنده مقدار عددی هستند.تعاریف اصطلاحات مورد استفاده در دو جدول معادلات در جدول دیگری بلافاصله پس ازآن داده شده است. برای شرح مفصلی از تفاوت بین میکروسکوپی (بار کل و جریان کل) و ماکروسکوپی (بار و جریان آزاد) انواع دیگری از معادلات ماکسول، پایین را ببینید.

ارتباط بین فرمولهای دیفرانسیل و انتگرال[ویرایش]

فرمولهای معادلات دیفرانسیل و انتگرال ازنظر ریاضی معادل هستند. با قضیه دیورژانس در مورد قانون گوس و قانون گاوس برای مغناطیس، و توسط کلوین قضیه استوکس در مورد قانون فارادی و قانون آمپر. هر دو فرمول دیفرانسیل و انتگرال مفید هستند.فرمول انتگرال اغلب می تواند به سادگی و به طور مستقیم محاسبه میدان از توزیع متقارن بارها و جریان مورد استفاده قرار گیرد. از سوی دیگر، فرمول دیفرانسیل نقطه شروع طبیعی تر برای محاسبه میدان در موقعیت های پیچیده تر (کمتر متقارن) است، به عنوان مثال با استفاده از تجزیه و تحلیل المان محدود.

معادلات خلاء، امواج الکترومغناطیسی و سرعت نور[ویرایش]

در یک منطقه بدون بار (0= ρ) وبدون جریان (J = 0) از جمله در خلاء، معادلات ماکسول را کاهش دهد :

\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \quad 
&\nabla \times \mathbf{E} = \ -&\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},
\\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \quad
&\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} &\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.
\end{align}

جایی که c = 2.99792458 \times 10^{8} m/s  سرعت نور در خلا است. با بحث درباره کرل و با استفاده از معادلات کرل می توان معادلات موج را بدست آورد


 \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf E  = 0, \quad
 \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf B   = 0

به عبارت دیگر، B و E معادله موج را برآورده می کنند. علاوه بر این، E و B در جهت انتشار موج متقابلاً عمود بر یکدیگر هستند وبا یکدیگر هم فاز هستند. موج سینوسی هواپیما یک راه حل ویژه ای از این معادلات است. معادلات ماکسول توضیح می دهد که چگونه این امواج می تواند از طریق فضا انتشار یابند. تغییر میدان مغناطیسی باعث ایجاد تغییردر میدان الکتریکی ، از طریق قانون فارادی می شود.در حالی که میدان الکنریکی باعث ایجاد تغییر در میدان مغناطیسی طبق تصحیح قانون آمپر ماکسول است. به نوبه خود، که میدان الکتریکی ایجاد یک میدان مغناطیسی در حال تغییر از طریق اصلاح ماکسول قانون آمپر. حال این چرخه دائمی به این امواج، که به عنوان تابش الکترومغناطیسی شناخته شده است، اجازه می دهد تا از طریق فضا در سرعت c حرکت کنند.

معادلات در واحدهای گوسی[ویرایش]

دستگاه یکاهای گاوسی یک دستگاه یکای پراستفاده است که زیرمجموعه‌ای از دستگاه سانتیمتر گرم ثانیه ( CGS )می‌باشد . استفاده از واحدهای گاوسی منجر به تعییر شکل ظاهری معادلات ماکسول می‌شود. معادلات ماکسول در دستگاه گاوسی چنین هستند:

معادلات ماکسول در دستگاه گاوسی
Name معادلات میکروسکوپیک معادلات ماکروسکوپیک
قانون گاوس \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho_{\mathrm{tot}}  \nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_\mathrm{f}
قانون مغناطیسی گاوس \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 مانند معادله میکروسکوپیک
معادله ماکسول-فارادی (القای فارادی) \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} مانند معادله میکروسکوپیک
قانون آمپر (با اصلاح ماکسول) \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}  \nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}_\mathrm{f}

میکروسکوپی" در مقابل "ماکروسکوپی[ویرایش]

نوع میکروسکوپی از معادله ماکسول بیانگر میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B در قوانین بار کل و جریان کل حاضر شامل بارها و جریان ها در سطح اتمی است. این گاهی اوقات صورت عمومی از معادلات ماکسول و یا "معادلات ماکسول در خلاء "نامیده می شود.نوع ماکروسکوپی معادله ماکسول به همان اندازه عمومی است ، با این حال، تفاوت... "معادلات ماکروسکوپی ماکسول"، همچنین به عنوان معادلات ماکسول در ماده شناخته شده است، بیشتر شبیه به کسانی است که ماکسول خود معرفی کرد. بر خلاف معادلات "میکروسکوپی"، آن عامل به بار وجریان محدود برای به دست آوردن معادله ای که فقط به بار و جریان آزاد بستگی دارد است.هزینه این فاکتور این است که زمینه های اضافی، جابجایی میدان D و میدان مغناطیسی H، تعریف می شوند که نیاز به تعیین دارند . معادلات تشکیل دهنده پدیدارشناسانه به زمینه های اضافی میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B، اغلب از طریق یک رابطه خطی ساده مرتبط هستند.

میدانهای کمکی، قطبش و خاصیت مغناطیسی[ویرایش]

تعریف های میدانهای کمکی عبارتند از :

\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)
\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t),

که در آن P زمینه قطبش و M میدان مغناطیسی است به عنوان که در قوانین و مقررات از بار میکروسکوپی محدودشده و جریان محدود تعریف شده است.چگالی بار ماکروسکوپیک محدود شده ρb و چگالی جریان محدود Jb در شرایط استفاده از قطبش و مغناطش تعریف شده به عنوان :

\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P},
\mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}.

اگر ما آزاد، محدود، و کل بار و چگالی جریان را تعریف کنیم

\rho = \rho_b + \rho_f, \
\mathbf{J} = \mathbf{J}_b + \mathbf{J}_f,

و با استفاده از روابط معینی برای حذف D وH معادلات ماکروسکوپیک ماکسول تبدیل به معادلات میکروسکوپی می شود.

روابط ساختاری[ویرایش]

به منظور اعمال معادلات ماکروسکوپی ماکسول، مشخص کردن روابط میان جابجایی میدان D و E میدان الکتریکی، و همچنین به عنوان میدان مغناطیسی H و B لازم است. همچنین ، ما باید وابستگی قطبش P (افزایش شار محدود) و M خاصیت مغناطیسی (افزایش جریان محدود) در اعمال میدان الکتریکی و مغناطیسی را تعیین کنیم. معادلات تعیین شده به این روش، روابط ساختاری نامیده می شوند. دردنیای واقعی مواد ، روابط ساختاری به ندرت ساده هستند، به جز در حدود، و معمولاآنهایی که از طریق آزمایش تعیین شده است. برای توضیحات کاملتر مقاله اصلی را ببینید. اشکال ماکروسکوپی معادلات ماکسول برای مواد مختلف در زیر ارائه شده است. در هر صورت، قانون فارادی از القاء و قانون گاوس برای مغناطیس همیشه یکسان است.

مواد بدون قطبش و خاصیت مغناطیسی ("خلاء")[ویرایش]

روابط ساختاری عبارتند از :

برای مقادیر ثابت و چون هیچ بار مقیدی وجود ندارد بار کل آزاد و جریان با هم برابرند

قانون گاوس تبدیل می شود به :

قانون مداری آمپر تبدیل می شود به :

یک بخش کلیدی از محتوای فیزیکی معادله ماکسول این است که خلاء (به عنوان مثال در فضای بین ستاره ای ، و در داخل خود اتم ها یافت می شود) ساده ترین ارتباطات خطی سازنده دارد. در بازرسی نزدیکتر این سادگی به ساختار متریک فضا بستگی دارد. در واقع، در 4 بعدی فرمول نسبیت، رابطه ساختاری از خلاء فضای متریک فضا-خلا لورنتز از زمان تا مقیاس مشخص می کند. (یعنی هندسه فضا زمان همشکل) یا به طور برابر، مخروط های نور.

مواد غیرخطی[ویرایش]

در مورد مواد غیر خطی (برای مثال به اپتیک غیر خطی نگاه کنید)، D و P به E الزاماً مرتبط نیست، به طور مشابه B الزاماً مرتبط نیست با H یا M. به طور کلی یک رابطه وجود دارد D = D (E، B، X، T) و H = H (E، B، X، T) که پاسخ مواد فیزیکی راتوصیف می کند. برای یک شرح کامل نیز باید چگونگی رفتار جریان و چگالی بار در شرایط استفاده از E و B توصیف شود که احتمالاً با دیگر مقادیر فیزیکی مانند جرم، چگالی، فشار و سرعت حمل ذرات بار همراه تزویج شده است. فرمول های متغیر

منابع[ویرایش]

  • Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
  • Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997