پتانسیل گرانشی

Plot of a two-dimensional slice of the gravitational potential in and around a uniform spherical body. The inflection points of the cross-section are at the surface of the body.

در مکانیک کلاسیک، پتانسیل گرانشی در یک مکان ویژه، برابر است با کاری که (انرژی که باید تبدیل شود) باید بوسیلهٔ نیروی گرانشی زمین، در یکای جرم ماده انجام شود تا جسمی را از یک نقطهٔ مرجع به سوی آن مکان ویژه، جابجا کند. پتانسیل گرانشی را می‌توان به پتانسیل الکتریکی مانند کرد، با این تفاوت که این بار جرم به جای بار الکتریکی، نقش اصلی را برعهده می‌گیرد. قرار داد است که پتانسیل گرانشی در فاصلهٔ بینهایت از یک جرم را صفر درنظر بگیریم. درنتیجه مقدار آن در جاهای دیگر منفی خواهد بود.

در زیاضیات، پتانسیل گرانشی را با نام پتانسیل نیوتنی نیز می‌شناسند و آن را در بحث تئوری پتانسیل بررسی می‌کنند.

انرژی پتانسیل

پتانسیل (V)، همان انرژی پتانسیل (U) در یکای جرم ماده‌است:

$U = m V$

که در عبارت بالا، m جرم ماده (جسم) است. انرژی پتانسیل برابر است با خلاف کاری کاری که باید بوسیلهٔ میدان گرانشی انجام شود تا جسمی را از بینهایت به سمت یک مکان معلوم در فضا بیاورد؛ یعنی انرژی پتانسیل برابر است با کار میدان گرانشی اما با علامت منفی. اگر جسمی جرمی برابر با ۱ داشته باشد، می‌توان گفت که انرژی پتانسیل آن برابر است با پتانسیل گرانشی آن.

برای اینکه رابطهٔ گفته شده در بالا بیشتر قابل حس باشد، می‌توان آن را به صورت زیر ساده کرد:

$\Delta U = mg \Delta h$

در رابطهٔ بالا فرض شده‌است که جسم در نزدیکی سطح زمین مورد بررسی قرار می‌گیرد درنتیجه شتاب وارد بر آن همان شتاب گرانش زمین است که مقدار آن نیز ثابت است درنتیجه تنها عامل تغییر انرژی پتانسیل، تغییر ارتفاع جسم است.

نوشتار ریاضی

پتانسیل V در فاصلهٔ x از یک جرم نقطه‌ای M برابر است با:

$V = -\frac{GM}{x},$

که در آن G ثابت گرانش است. یکای پتانسیل برابر است با یکای انرژی بر جرم. مانند ژول بر کیلوگرم (J/kg) در سامانهٔ MKS (متر - کیلوگرم - ثانیه). علامت منفی در رابطه یک قرار داد است، چون همواره منفی است درنتیجه اگر x به سمت بینهایت برود پتانسیل به سمت صفر خواهد رفت.

میدان گرانشی و درنتیجه شتاب یک جسم کوچک در فضای پیرامون یک جرم بسیار بزرگ، منفی گرادیان پتانسیل گرانشی است.

$\mathbf{a} = -\frac{GM}{x^3} \mathbf{x} = -\frac{GM}{x^2} \hat{\mathbf{x}},$

در رابطه ی بالا، x برداری است با طول x که جهت آن از جرم نقطه ای به سوی جسم کوچک است و $\hat{\mathbf{x}}$ یک بردار یکه است که جهت آن از جرم نقطه ای به سوی جسم کوچک می باشد. اندازه ی شتاب برابر است با:

$|\mathbf{a}| = \frac{GM}{x^2}.$

منبع

• ویکی‌پدیای انگلیسی