معادلات فریدمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادلات فریدمان(به انگلیسی: Friedmann equations) از حل معادلات میدان اینشتین برای متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر می توان به راحتی معادلات انبساط جهان همگن و ایزوله با چگالی انرژی \!\rho و چگالی فشار \!p را بر حسب عامل مقیاس و مشتقات مرتبه اول و دوم آن نسبت به زمان به دست آورد. این کار اولین بار توسط الکساندر فریدمان در سال 1922 انجام گردید و معادلات مشابهی با انحنای فضایی منفی در سال 1924 توسط وی ارائه شد. دو معادله مستقل فضایی و زمانی فریدمان به ترتیب عبارتند از

 \frac{\dot{a}^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda c^2}{3}
\frac{\ddot{a}}{a} =  -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}

که در آن H \equiv \frac{\dot{a}}{a} به پارامتر هابل و G ثابت گرانشی نیوتن و Λ ثابت کیهان شناسی و c سرعت نور نام دارند. اغلب می توان با ارتباط بین پارامتر هابل و عامل مقیاس این معادلات را با پارامتر هابل بازنویسی کرد

H^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}
\dot{H} + H^2 = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right).

به k \over a^2 انحنای فضایی گفته می شود که به ترتیب برای k=+1 جهان با انحنای مثبت (بسته) و k=-1 جهان با انحنای منفی (باز) و k=0 جهان با انحنای صفر (تخت) خواهد بود. در این معادلات اسکالر ریچی به صورت R = \frac{6}{a^2}(\ddot{a} a + \dot{a}^2 + kc^2) محاسبه می شود. اگر از معادله اول فریدمان نسبت به زمان مشتق بگیریم و از معادله دوم نیز استفاده کنیم با صرف نظر از ثابت کیهان شناسی داریم

\dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right),

جستار های وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. 10 (1): 377–386. Bibcode 1922ZPhy...10..377F. (German) (English translation in: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. Bibcode 1999GReGr..31.1991F. )
  • Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21 (1): 326–332. Bibcode 1924ZPhy...21..326F. (German) (English translation in: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 2001–2008. Bibcode 1999GReGr..31.2001F .)
  • Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, ISBN 0-19-859686-3.
  • Rees, M., Just Six Numbers, (2000) Orion Books, London, p. 81, p. 82