معادلات فریدمان

Friedmann equations

از حل معادلات میدان اینشتین برای متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر می توان به راحتی معادلات انبساط جهان همگن و ایزوله با چگالی انرژی $\!\rho$ و چگالی فشار $\!p$ را بر حسب عامل مقیاس و مشتقات مرتبه اول و دوم آن نسبت به زمان به دست آورد. این کار اولین بار توسط الکساندر فریدمان در سال 1922 انجام گردید و معادلات مشابهی با انحنای فضایی منفی در سال 1924 توسط وی ارائه شد. دو معادله مستقل فضایی و زمانی فریدمان به ترتیب عبارتند از

$\frac{\dot{a}^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda c^2}{3}$

$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$

که در آن $H \equiv \frac{\dot{a}}{a}$ به پارامتر هابل و G ثابت گرانشی نیوتن و Λ ثابت کیهان شناسی و c سرعت نور نام دارند. اغلب می توان با ارتباط بین پارامتر هابل و عامل مقیاس این معادلات را با پارامتر هابل بازنویسی کرد

$H^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}$

$\dot{H} + H^2 = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right).$

به $k \over a^2$ انحنای فضایی گفته می شود که به ترتیب برای k=+1 جهان با انحنای مثبت (بسته) و k=-1 جهان با انحنای منفی (باز) و k=0 جهان با انحنای صفر (تخت) خواهد بود. در این معادلات اسکالر ریچی به صورت $R = \frac{6}{a^2}(\ddot{a} a + \dot{a}^2 + kc^2)$ محاسبه می شود. اگر از معادله اول فریدمان نسبت به زمان مشتق بگیریم و از معادله دوم نیز استفاده کنیم با صرف نظر از ثابت کیهان شناسی داریم

$\dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right),$

جستار های وابسته

• معادلات میدان اینشتین
• مشتق هموردا
• متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر
• عامل مقیاس
• ثابت کیهان شناسی

منابع

• Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. 10 (1): 377–386. Bibcode 1922ZPhy...10..377F. (German) (English translation in: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. Bibcode 1999GReGr..31.1991F. )
• Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21 (1): 326–332. Bibcode 1924ZPhy...21..326F. (German) (English translation in: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 2001–2008. Bibcode 1999GReGr..31.2001F .)
• Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, ISBN 0-19-859686-3.
• Rees, M., Just Six Numbers, (2000) Orion Books, London, p. 81, p. 82