تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در فیزیک، تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی قسمتی از تانسور ضربه-انرژی ، ناشی از میدان الکترومغناطیسی است. [۱]

تعریف[ویرایش]

دستگاه SI[ویرایش]

در فضای آزاد و در فضازمان تخت، تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی در دستگاه SI چنین است: [۲]

T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left[ F^{\mu \alpha}F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right] \,.

که در آن F^{\mu\nu} تانسور الکترومغناطیسی و \eta_{\mu\nu} متریک مینکوفسکی با قطر (+++−) است. به تقارن تانسور T^{\mu\nu} توجه کنید.

به طور صریح در فرم ماتریسی رابطه‌ی بالا چنین است:

T^{\mu\nu} =\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2\right) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\
S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix},

در این ماتریس، \bold{S} بردار پوئینتینگ است:

\bold{S}=\frac{1}{\mu_0}\bold{E}\times\bold{B},

و \sigma_{ij}  مولفه‌های تانسور تنش ماکسول هستند:

\sigma_{ij} = \epsilon_0 E_i E_j   + \frac{1}
{{\mu _0}}B_i B_j - \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2  + \frac{1}{\mu _0}B^2 \right)\delta _{ij}.

c هم سرعت نور است.

دستگاه CGS[ویرایش]

برای نوشتن روابط در دستگاه گاؤسی می‌توان ثابت گذردهی خلأ و ثابت تراوایی خلاء را در روابط بالا چنین جایگزین کرد:

\epsilon_0=\frac{1}{4\pi},\quad \mu_0=4\pi\,

بنابراین روابط قسمت قبل چنین خواهند شد:

T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} [ F^{\mu\alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,.

و به صورت صریح:

T^{\mu\nu} =\begin{bmatrix} \frac{1}{8\pi}(E^2+B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}

توجه کنید که در دستگاه گاؤسی، بردار پوئینتینگ چنین است:

\bold{S}=\frac{c}{4\pi}\bold{E}\times\bold{B}.

تانسور ضربه انرژی میدان الکترومغناطیسی در محیط دی‌الکتریک کمتر شناخته شده است و موضوع مباحثه هنوز حل نشده‌ی آبراهام−مینکوفسکی است. [۳]

مولفه‌ی T^{\mu\nu}\! از تانسور انرژی−تکانه بیانگر شار مولفه‌ی μام چارتکانه ی میدان الکترومغناطیسی، P^{\mu}\! ، گذرنده از یک ابرصفحه است. ( x^{\nu} ثابت ). این تانسور بیان‌کننده‌ی سهم الکترومغناطیس در منشأ میدان گرانشی (انحنای فضازمان) در نسبیت عام است.

قوانین پایستگی[ویرایش]

با کمک تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی می‌توان قوانین پایستگی تکانه‌ی خطی و انرژی در الکترومغناطیس را به صورتی فشرده نوشت. دیورژانس تانسور ضربه تنرژی چنین است:

\partial_\nu T^{\mu \nu} + \eta^{\mu \rho} \, f_\rho = 0 \,

که در آن f_\rho نیروی لورنتز (در ۳ بعد) وارد بر ماده بر واحد حجم است.

این معادله هم‌ارز با قوانین پایستگی معروف الکترومغناطیس در ۳ بعد است

\frac{\partial u_\mathrm{em}}{\partial t} + \bold{\nabla} \cdot \bold{S} + \bold{J} \cdot \bold{E} = 0 \,

\frac{\partial \bold{p}_\mathrm{em}}{\partial t} - \bold{\nabla}\cdot \sigma + \rho \bold{E} + \bold{J} \times \bold{B} = 0 \,

که اولی پایستگی انرژی :

u_\mathrm{em} = \frac{\epsilon_0}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2 \,

و دومی پایستگی تکانه خطی را بیان می‌کند:

\bold{p}_\mathrm{em} = {\bold{S} \over {c^2}}

J نیز چگالی جریان الکتریکی و ρ چگالی بار الکتریکی را نشان می‌دهد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  2. Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  3. Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007) را ببینید.