تانسور الکترومغناطیسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
الکترومغناطیس
VFPt Solenoid correct2.svg
برق · مغناطیس

در الکترومغناطیس, تانسور الکترومغناطیسی یا تانسور میدان الکترومغناطیسی (گاهی تانسور شدت میدانها, تانسور فارادی یا شبه بردار ماکسول هم گفته می‌شود.) یک مورد ریاضی است که میدان الکترومغناطیس یک مجموعهٔ فیزیکی را توصیف می‌کند. تانسور میدان که برای اولین بار بعد از تانسور ۴ بعدی روابط نسبیت خاص استفاده شد را هرمان مینکوفسکی معرفی کرد. تانسور به بعضی قوانین فیزیکی اجازه می‌دهد تا بسیار خلاصه تر نوشته شوند.

تعریف[ویرایش]

تانسور الکترومغناطیسی، قراردادی با حرف Fنمایش داده می‌شود، و به عنوان مشتق خارجی چاربردار پتانسیل, A, دیفرانسیل فرم۱ است:[۱][۲]

F \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathrm{d}A.

پسF یک دیفرانسیل فرم۲—که یک تانسور میدان مرتبه۲ نامتقارن در فضای مینکوفسکی است.

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu.

رابطه با میدان‌های کلاسیک[ویرایش]

تانسور الکترومغناطیسی نسبت به میدانهای الکتریکی و مغناطیسی کاملاً همدیس , گرچه میدانهای الکتریکی و مغناطیسی با تغییر قاب مرجع تغییر می‌کنند، تانسور الکترومغناطیسی این گونه نیست. در حالت کلی، رابطه تقزیبا پیچیده است، ولی در مختصات دکارتی، با استفاده از قاب مرجع خود دستگاه مختصات، رابطه بسیار ساده می‌شود.

E_i = c F^{i0},

که c سرعت نور، و

B_i = -\frac 1 2 \epsilon_{ijk} F^{jk},

که\epsilon_{ijk} نماد لوی چوی است. به عبارت ماتریسی:


\begin{bmatrix}
0     & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0      & -B_z   & B_y    \\
E_y/c & B_z    & 0      & -B_x   \\
E_z/c & -B_y   & B_x    & 0
\end{bmatrix} = F^{\mu\nu}.

یا:


F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta} = \begin{bmatrix}
0      & E_x/c  & E_y/c  & E_z/c \\
-E_x/c & 0      & -B_z   & B_y    \\
-E_y/c & B_z    & 0      & -B_x   \\
-E_z/c & -B_y   & B_x    & 0
\end{bmatrix}.

شکل نا همسان در رابطهٔ نیروی لورنتس ظاهر می‌شود:  \frac{d p^\mu}{d \tau} = q F^{\mu}_{\nu} u^\nu ، where


F^{\mu}_{\nu} = \begin{bmatrix}
0      & E_x/c  & E_y/c  & E_z/c \\
E_x/c  & 0      & B_z    & -B_y    \\
E_y/c  & -B_z   & 0      & B_x   \\
E_z/c  & B_y    & -B_x   & 0
\end{bmatrix}.

در این مقاله از این جا به بعد دستگاه مختصات را دکارتی و قاب مرجع را خود دستگاه فرض کنید.

مشخصات[ویرایش]

شکل ماتریسی تانسور میدانمشخصات زیر را داراست:[۳]

۱=ضد تقارن:

F^{\mu\nu} \, = - F^{\nu\mu}

۲=۶ جزء مستقل: در مختصات دکارتی، که سه مولفه فضایی میدان الکتریکی(Ex, Ey, Ez) و میدان مغناطیسی (Bx, By, Bz) هستند.

۳=ضرب داخلی: اگر از ضرب داخلی تانسور شدت میدان استفاده کنیم یک ثابت لورنتس را می‌توان به صورت زیر نوشت:

F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = \ 2 \left(B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)

با تغییر قاب مرجع این عدد تغییر نمی‌کند. ۴=ثابت شبه اسکالر: ضرب تانسور \scriptstyle (F^{\mu\nu}) با تانسور دوگانهء \scriptstyle (G^{\mu\nu}) ثابت لورنتس را نتیجه می‌دهد:

 G_{\gamma\delta}F^{\gamma\delta}=\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = -\frac{4}{c} \left(\bold B \cdot \bold E \right)  \,

که \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} نماد لوی چوی مرتبه ۴ است. نماد آن بستگی به مجمع مورد استفاده برای نماد لوی چوی دارد. مجمعی که در این جا استفاده می‌شود  \epsilon_{0123} = +1 .

۵=دترمینان:

 \det \left(F \right) = \frac{1}{c^2} \left(\bold B \cdot \bold E \right) ^{2}

که مربع ثابت بالاست.

نکات[ویرایش]

با استفاده از تعریف داریم:

 T_{[abc]} = \frac{1}{3!}(T_{abc} + T_{bca} + T_{cab} - T_{acb} - T_{bac} - T_{cba})

بنابرین اگر:

 \partial_\gamma F_{ \alpha \beta } + \partial_\alpha F_{ \beta \gamma } + \partial_\beta F_{ \gamma \alpha } = 0

در آن صورت:

\begin{align}
0 & = \begin{matrix} \frac{2}{6} \end{matrix} (\partial_\gamma F_{ \alpha \beta } + \partial_\alpha F_{ \beta \gamma } + \partial_\beta F_{ \gamma \alpha }) \\
 & = \begin{matrix} \frac{1}{6} \end{matrix} \{ \partial_\gamma (2F_{ \alpha \beta }) + \partial_\alpha (2F_{ \beta \gamma }) + \partial_\beta (2F_{ \gamma \alpha }) \} \\
 & = \begin{matrix} \frac{1}{6} \end{matrix} \{ \partial_\gamma (F_{ \alpha \beta } - F_{ \beta \alpha}) + \partial_\alpha (F_{ \beta \gamma } - F_{ \gamma \beta}) + \partial_\beta (F_{ \gamma \alpha } - F_{ \alpha \gamma}) \} \\
 & = \begin{matrix} \frac{1}{6} \end{matrix} (\partial_\gamma F_{ \alpha \beta } + \partial_\alpha F_{ \beta \gamma } + \partial_\beta F_{ \gamma \alpha } - \partial_\gamma F_{ \beta \alpha} - \partial_\alpha F_{ \gamma \beta} - \partial_\beta F_{ \alpha \gamma}) \\
 & = \partial_{[ \gamma} F_{ \alpha \beta ]}
\end{align}

منابع[ویرایش]

  1. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0. 
  2. D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd Edition). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 81-7758-293-3. 
  3. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.