نیروی لورنتس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

نیروی لورنتس در فیزیک به صورت نیروی وارد بر بار نقطه‌ای در میدان الکترود مغناطیسی تعریف می‌شود. این نیرو با استفاده از رابطه زیر که شامل میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی است بیان می‌شود:

\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),

که در آن

F نیروی لورنتس برحسب نیوتون
E میدان الکتریکی بر حسب ولتر بر متر
B میدان مغناطیسی بر حسب تسلا
q بار الکتریکی ماده بر حسب کولمب
v سرعت لحظه‌ای ذره بر حسب متر بر ثانیه.
× علامت ضرب برداری است.

به طور معادل عبارت زیر برای پتانسیل برداری و پتانسیل اسکالر است:

\mathbf{F} = q ( - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } + \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{A})),

که در آن

و ∇ × به ترتیب گرادیان و کرل هستند.
A و ɸ پتانسیل مغناطیسی برداری و پتانسیل الکترواستاتیک می‌باشند که توسط فرمول‌های زیر به E و B ارتباط پیدا می‌کنند:
 \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }
\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.

توجه داشته باشید که این معادلات برداری هستند و کلیهٔ کمیت‌هایی که به صورت پررنگ نوشته شده‌اند، بردار می‌باشند. (مشخصا: F، E، v، Bو A)

قانون نیروی لورتنس رابطه نزدیک با قانون القای فاراده دارد جسمی که به صورت نسبت بار دار شده در همان جهت میدان الکتریکی شتاب می‌گیرد اما به طور عمود بر سرعت لحظه‌ای و میدان مغناطیسیB است و براساس قانون دست راست عمل می‌کند (یعنی اگر انگشت شست است راست جهت v باشد انگشت اشاره جهت B و خمش انگشتان جهت F را مشخص می‌کند.) عبارت qE نیروی الکتریکی بیست و B× qv عبارت نیروی مغناطیسی است براساس همین رابطه نیروی لورتنس را می‌توان به صورت زیر بیان کرد

\mathbf{F}_{mag} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})

با نیروی کامل الکترو مغناطیسی (که شامل عبارت نیروی الکتریکی نیز هست.) اسامی دیگری (که غیر استاندارد هستند) اطلاق می‌شود که بیان نیروی لورتنس برای این نیروی کامل استاندارد ترین نام است. مولفه مغناطیسی نیروی لورنتس نیرویی است بر سیم حامل جریان در میدان مغناطیسی دارد می‌شود که به تنهایی نیروی لاپلاس نامیده می‌شود که بزرگی این نیرو qvBsinA است و جهت آن عمود بر B،v است اگر B،v عمود باشند بزرگی این نیرو به صورت qvB خواهد بود. و مسیر حرکت به صورت دایره‌ای خواهد بود اگرچه بزرگی سرعت تغییر می‌کند اما جهت آن به صورت دایره‌ای تغییر خواهد کرد

تاریخچه[ویرایش]

اولین تلاش‌ها برای تشریح کمی نیروی الکترو مغناطیسی در اواسط قرن ۱۸ بود که پیشنهادی بر نیروی وارد برقطب‌های مغناطیسی لود این کار توسط جان توبیاس مایر (john tobias Mayor) و دیگران در ۱۷۶۰ و اجسام بار دار‌الکتریکی توسط هنری کاندیش در ۱۷۶۲ که قانون عکس مجذور فاصله پیروی می‌کند البته در هیچ کدام از این در مورد اثبات‌های تجربی کامل نشدند و تا ۱۷۸۴ تا زمانی که چالز آگوستین کولن با استفاده از یک تعادل توانست نشان دهد که روش‌های اثبات تجربی این مسئله درست هستند. کمی بعد در ۱۸۲۰ اورستد نشان داد که عقربه مغناطیسی به اعمال ولتاژ و جریان عکس العمل نشان می‌دهد. در همان نسل آندره ماری آمپر توانست رابطه بین که نیرو با زاویه ی نا مشخص بین دو المان جریان را پیدا کند. در تمام این توصیفات نیرو به عنوان ویژگی خاص از یک المان در فاصله ی مشخص از میدان الکتریکی مغناطیسی بیان می‌شد. اولین بیان مدرن از مفهوم میدان الکتریکی و مغناطیسی در نظریه ی مایکل فاراده خود را نشان داد به ویژه نظریه او راجع به خطوط نیرو و بعدها توصیف ریاضی کامل این نظریه توسط لرد کلوین و جیمز کلارک ماکسول ارائه شد. ماکسول با معادلاتش راهی برای رابطه ی بین نیروی لورتنس و میدان الکتریکی پیدا کرد. اگرچه در آن زمان کسی درک نمی‌کرد که الکتریسته شامل حرکت بارهای الکتریکی نیز می‌شود. و اینکه حرکت این بارهای الکتریکی باعث ایجاد میدان مغناطیسی می‌شود. هنری رولند در ۱۸۷۵ نشان داد که بارهای متحرک الکتریکی مانند سیم حامل جریان میدان مغناطیسی ایجاد می‌کنند. در همان زمان بود که تامسون سعی می‌کرد با استفاده از نتایج معادلات ماکسول نیروی دارد. از طرف میدان مغناطیسی بر بار متحرک را به عنوان یک ویژگی خارجی اثبات کند. در توجیه رفتار الکترو مغناطیسی در پرتوهای کاتدی تامسون مقاله‌ای در ۱۸۸۱ چاپ کرد و در آن نیروی وارد بر بار از طرف میدان خارجی را با رابطه زیر به دست آورد. تامسون به یک بیس درست از فرمول رسید. اما به دلیل برخی اشتباهات در محاسبه و توصیف نادرست جریان جا به جایی یکای اشتباهی برای فرمول به دست آورد. الیو هوبسارید تعریف جدیدی از بردار ارائه داد و از آن‌ها در معادلات ماکسول استفاده کرد و در نسل‌های ۱۸۸۵ و ۱۸۸۹ رابط تامسون را تصحیح کرد و به شکل درست معادلات رسید و نهایتاً در ۱۸۹۲ هنریک لورتنس توانست رابطه ی کلی نیرو را که هم شامل میدان الکتریکی و هم شامل میدان مغناطیسی بود بیاید. لورتنس معادلات ماکسون در رابطه بالاتر و رسانایی صرف نظر کرد و در عوض میان ماده واتر شفاف قائل شد و توانست معادلات ماکسون را در مقیاس میکروسکوپیک بیان کند. با استفاده از مدل هویساید از معادلات ماکسون برای اترساکن و استفاده از مکانیک لاگرانژی لورتنس به نرم صحیح و کامل نیرو رسید و نام خود را ثبت کرد.

اهمیت نیروی لورنتس[ویرایش]

در حالی که معادلات مدرن ماکسول نشان می‌دهند که چگونه بار و اجسام باردار در مقابل میدان‌های مغناطیسی و الکتریکی رفتار می‌کنند. قانون نیروی لورتنس این تصویر ذهنی را بر بار این بیان که بار متحرک q در مقابل میدان مغناطیسی قرار دارد، تکمیل می‌کند. قانون نیروی لورتنس اثرات میدان‌های B،E را بر یک بار نقطه‌ای بیان می‌کند اما همانند نیروهای الکترو مغناطیسی همه ی تصویر را نشان نمی‌دهد بارها اغلب به نیروهای دیگری تبدیل می‌شوند به طور برسجته، جاذبه و نیروی هسته‌ای بنابراین معادلات ماکسول جدا از سایر قوانین فیزیک قرار نمی‌گیرد اما با آن‌ها با بار و چگالی جریان پیوند می‌خورد. واکنش یک ذره به باردار به نیروی لورتنس یک جنبه و تولید B،E توسط جریان و بار جنبه ی دیگر قضیه‌است. در مواد واقعی نیروی لورتنس برای توصیف رفتار بار کافی نیست نه در توصیف نیروها و نه حتی در محاسبه. قسمت‌های بار دار در ماده به طور متوسط به B،E واکنش نشان می‌دهند و حتی آنها را تولید نیز می‌کنند. معادلات پیچیده تر باید زمان و فاصله ی بین بارها را نیز محاسبه کنند، مانند معادلات بولتزمن یا معادلات فوکر، پلانک و یا معادلات ناویر استوکس. همچنین مغناطیس شاره‌ها دینامیک سیادلات و همچنین تحولات ستاره‌ای که کل فیزیک به علت سر و کار داشتن با این مفاهیم تغییر کرده‌است. اگر چه ممکن است عده‌ای این تئوری‌ها را ترتیبی برای واقعیت و یا اجسام بزرگ بدانند اما با یک نگاه عمیق تر می‌توان به این نکته پی برد که بررسی ذرات باعث به وجود آمدن نیروهایی جاذبه یا نیروی هسته‌ای و یا به وجود آمدن شرایط مرزی می‌شود و این مختص الکتر و مغناطیس نیست بلکه شامل تمام قسمت‌ها می‌شود

نیروی لورنتس توصیفی برای B،E[ویرایش]

در بسیاری از کتاب‌های درسی در الکترو مغناطیس کلاسیک نیروی لورنتس راهی برای توصیف میدان‌های B،E است برای مثال نیروی لورنتس به صورت زیر بیان می‌شود. نیروی الکترو مغناطیسی وارد بر بار آزمون به صورت تابعی از بار و سرعت بیان می‌شود که با پارامتری کردن توسط دو بردار B،E به صورت زیر بیان می‌شود:

\mathbf{F}=q[\mathbf{E}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})].

اگر فرض کنیم که این بیان تجربی صحیح باشد (که تعداد بی شماره از آزمایشها ثابت کرده‌اند که صحیح است.) دو میدان برداری E،B وجود دارند که فضا و زمان را پر کرده‌اند که میدان الکتریک و میدان مغناطیسی نامیده می‌شوند. باید توجه کرد که میدان‌ها هر جایی در فضا و زمان مطرح می‌شوند بدون توجه به اینکه آیا به ذره نیرویی دارد می‌شود و یا نه به طور مشخص میدان‌ها نسبت به نیرویی که بار آزمون فرضی متوجه ان است قرار می‌گیرند. توجه کنید که به عنوان توصیفی از B،E نیروی لورتنس تنها یک بیان قابل استنباط است. معکوس ان نیز قابل استفاده‌است یعنی از معادلات ماکسول و نیروی لورتنس می‌توان به قانون فاراده رسید.

نیروی لورنتس و قانون القای فاراده[ویرایش]

با استفاده از قانون القای فاراده برای یک حلقه سیم در میدان مغناطیسی داریم:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

که در آن :

\Phi_B \ شار مغناطیسی
\mathcal{E} نیروی الکترو موتوری

هستند

که این قانون هم برای سیم ساکن هم سیم متحرک صادق است.

فرض می‌کنیم \part\mathbf{\Sigma}(t) یک سیستم حامل جریان باشد که بدون چرخش دارای سرعت ثابت v است و \mathbf{\Sigma}(t) سطح کل سیم است مقدار emf در یک سطح بسته \part\mathbf{\Sigma}(t) توسط رابطه‌ای زیر داده می‌شود.

\mathcal{E} =\oint_{\part \Sigma (t)} d \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F} / q

که d المانی از سطح منحنی \part\mathbf{\Sigma}(t) است. شار ΦB در قانون فاردای به طور واضح از رابطه زیر به دست می‌آید.

 \Phi_B = \iint_{\Sigma(t)} d \boldsymbol{A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)

که در آن :\part\mathbf{\Sigma}(t) سطحی است که توسط \part\mathbf{\Sigma}(t) محسور شده‌است. E میدان الکتریکی d یک المان بسیار کوچک از سطح \part\mathbf{\Sigma}(t)، V سرعت المان بسیار کوچک B میدان مغناطیسی

برای هر دو بردار d و dA یک ابهام وجود دارد که برای تعیین علامت صحیح از قانون دست راست و قانون استوکس استفاده می‌شود تمام نتایج بالا در قانون القای فاراده بیان می‌شود که نتیجه آن صورت جدیدی از معادلات ماکسول است که رابطه ی ماکسول فاراده خوانده می‌شود.

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ .

که این رابطه با استفاده از قانون استوکس به شکل انتگرالی زیر است بدست می‌آید.

 \oint_{\partial \Sigma(t)}d \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = - \  \iint_{\Sigma(t)}  d \boldsymbol {A} \cdot {{d \,\mathbf {B}(\mathbf{r},\ t)} \over dt }

و قانون فاراده:

 \oint_{\partial \Sigma(t)}d \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = - \frac{d}{dt}  \iint_{\Sigma(t)}  d \boldsymbol {A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)

که با استفاده از رابطه لایبنبز به صوزت ریز در می‌آید :

 \oint_{\partial \Sigma(t)} d \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r}, t) = 
- \iint_{\Sigma(t)}  d \boldsymbol{A} \cdot \frac{d}{dt} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) + 
\oint_{\partial \Sigma(t)} \mathbf{v} \times \mathbf{B} d \boldsymbol{\ell}

و در نهایت رابطه ماکسول-فاراده:

 \oint_{\partial \Sigma(t)} d \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = 
\oint_{\partial \Sigma(t)} d \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t)  + 
\oint_{\partial \Sigma(t)} \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t) d \boldsymbol{\ell}

که این برای سیم ساکن و متحرک صادق است :

 \mathbf{F}= q\,\mathbf{E}(\mathbf{r},\ t)  + q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)

قانون القای فاراده هم برای سیم صلب ساکن و هم برای اجسام متحرک کاربرد با حضور میدان مغناطیسی متغیر با زمان یا ثابت کاربرد دارد. البته موارد ی وجود دارند که قانون فاراده برای آن‌ها قابل استفاده نیست یا بسیار دشوار است که با آن‌ها تطابق پیدا کند و است تضمینی برای ضرورت وجود نیروی لورتنس است. اگر میدان مغناطیسی با زمان تغییر نکند و حلقه رسانا در میدان حرکت کند شار مغناطیسی حلقه به طرق مختلف تغییر می‌کند. برای مثال اگر جهت میدان Bتغییر کند تغییر شار حلقه مخالف جهت حرکت B است. به همین ترتیب اگر جهت حلقه نسبت به میدان B تغییر کند المان دیفرانسیلی B•dA نیز تغییر خواهد کرد. به دلیل اینکه زاویه ی بین dA و B تغییر می‌کند بنابراین شار نیز تغییر می‌کند. در حالت سوم نیز اگر زاویه ی حلقه تغییر کند شار با حرکت آن مجدداً مخالفت خواهد کرد.

در تمامی این حالت‌ها قانون فارده وجود نیروی emf را به دلیل وجود شار ΦB. پیش گویی می‌کند توجه کنید که عبارت ماکسول، فاراده ایجاب می‌کند که در صورت تغییر میدان B با زمان، E بدون تغییر باقی بماند.

قانون لورنتس بر حسب پتانسیل[ویرایش]

اگر پتانسیل‌های اسکالر و برداری را جایگزین B،E کنیم نیروی لورنتس به فرم زیر در می‌آید.

\mathbf{F} = q(-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{t}}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A}))

یا به طور معادل (با توجه به اینکه v ثابت است)

\mathbf{F} = q(-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{t}}+ \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})-(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} )

که در آن A پتانسیل برداری مغناطیسی

\phiپتانسیل الکترو استاتیکی است.

و نمادهای \nabla,(\nabla\times),(\nabla\cdot)]]، نمایشگر، گرادیان، کرل و دیورژانس هستند.پتانسیل با B،E از طریق رابطه زیر مربوط می‌شود.

 \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }
\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

نیروی لورنتس در دستگاه cgs[ویرایش]

در فرمولی که در بالا ذکر شد از B دستگاه SI استفاده شد که در بین مهندسان و دانشمندان بسیار رایج است. دستگاه cgs در بین فیزیکدانان نظری بسیار رایج است. یکی از تفاوت‌های آن

\mathbf{F} = q_{cgs} \cdot (\mathbf{E}_{cgs} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}_{cgs}).

که در آن c سرعت نور است. اگر چه این عبارت کاملاً متفاوت از معادل ان به نظر می‌رسد روابط زیر را نیز می‌توان خاطر نشان شد:

q_{cgs}=\frac{q_{SI}}{\sqrt{4\pi \epsilon_0}}،   \mathbf E_{cgs} =\sqrt{4\pi\epsilon_0}\,\mathbf E_{SI}، and   \mathbf B_{cgs} ={\sqrt{4\pi /\mu_0}}\,{\mathbf B_{SI}}

که در آن ε۰ و μ۰ ضریب گذر دهی الکتریکی و مغناطیسی در خلاء هستند در عمل متأسفانه ذکر نمی‌شود که دستگاه مورد استفاده SIاست یا cgs و این مطلب باید از متن نوشته درک شود.

شکل چند متغیری نیروی لورنتس[ویرایش]

قانون حرکت نیوتن در شکل چند متغیری براساس تانسور نیروی مغناطیسی به صورت زیر بیان می‌شود.

 \frac{d p^\alpha}{d \tau} = q u_\beta F^{\alpha \beta}

که در آن t زمان، q بار و u چهار بردار سرعت است که از رابطه زیر به دست می‌آید.

u_\beta = \left(u_0, u_1, u_2, u_3 \right) = \gamma \left(c, v_x, v_y, v_z \right) \,

با استفاده از توصیف بالا برای نیروی لورتنس تانسور نیروی الکترو مغناطیسی به صورت زیر در می‌آید:

F^{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{bmatrix}
.

میدان توسط قاب متحرکی که با سرعت نسبی ثابت حرکت می‌کند جا به جا می‌شود و این سرعت از رابطه زیر به دست می‌آید:

 \acute{F}^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta}
 ,

که در آن  {\Lambda^{\mu}}_{\alpha}
 جا به جایی لورتنس است. به طور مشابه با استفاده از چهار بردار : A^{\alpha} = \left( \phi / c,\ A_x,\ A_y,\ A_z \right) \ ,

که به میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی با رابطه زیر مربوط می‌شود.

 \mathbf{E = -\nabla} \phi - \partial_t \mathbf{A}     \mathbf{B = \nabla \times A } \ ,

تانسور میدان به شکل : F^{\alpha \beta} = \frac {\partial A^{\beta}}{\partial x_{\alpha}} -  \frac {\partial A^{\alpha}}{\partial x_{\beta}} \ ,

در می‌آید که در آن

x_{\alpha} = \left( -ct,\ x,\ y,\ z \right) \ .

نماد سازی برداری[ویرایش]

برای مولفه x نیرو می‌توان نوشت

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = \frac{d p^1}{d \tau} = q u_\beta F^{1 \beta} = q\left(-u^0 F^{10} + u^1 F^{11} + u^2 F^{12} + u^3 F^{13} \right) .\,

که در آن t زمان مشخصه‌است جاگذاری این مولفه در تانسور نیروی الکترومغناطیسی منتج به این نتیجه می‌شود.

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \left(-u^0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + u^2 (B_z) + u^3 (-B_y) \right) \,

با نوشتن چهار برداری سرعت

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left(c \left(\frac{E_x}{c} \right) + v_y B_z - v_z B_y \right) \,
 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left( E_x + \left(\mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right) .\,

برای سایر مولفه‌ها نیز به همین ترتیب داریم.

 \gamma \frac{d \mathbf{p} }{d t} = \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma \left(\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right)\ ,

و به بیان پتانسیل برداری و اسکالر A و φ :

\frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma ( - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } + \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{A})) \ ,

نیرو وارد بر سیم حامل جریان[ویرایش]

هنگامی که یک سیم حامل جریان در یک میدان مغناطیسی قرار بگیرد هر کدام از بارهای متحرک که عامل ایجاد جریان هستندنیروی لورنتس برآان‌ها وارد می‌شود و در مقیاس ماکرو سکوپی می‌توانند بر سیم حامل جریان نیرو وارد کنند. (گاهی نیروی لاپلاس نامیده می‌شود). با ترکیب نیروی لورنتس با تعاریف نیروی الکتریکی عبارت زیر برای یک سیم ثابت و صاف حامل جریان بدست می‌آید :

\mathbf{F} = I \mathbf{L} \times \mathbf{B} \,

به طور معادل می‌توان رابطه زیر را نیز نوشت

\mathbf{F} = L \mathbf{I} \times \mathbf{B}

که در آن جهت بردار با جهت جریان متغیر، تغییر می‌کند و هر دو فرم بالا با هم معادل هستند (این یک نیروی خالص است به علاوه در صورت صلب نبودن سیم گاهی ممکن است نیروی گشتاور نیز ایجاد شود.)

EMF[ویرایش]

نیروی مغناطیسی (q v × B) می‌تواند به عنوان نیروی جنبشی الکترو متوری (emf) در نظر گرفته شود که این پدیده در بسیاری از ژنراتورها اتفاق می‌افتد وقتی یک ماده رسانا در میدان مغناطیسی حرکت می‌کند. نیروی مغناطیسی بر الکترون‌های سیم نیرو دار می‌کند و این باعث به وجود آمدن emf می‌شود و emf باعث حرکت سیم می‌شود. در سایر ژنراتورها در حالی که رسانا ساکن است آهن ربا حرکت داده می‌شود در این حالت emf باعث ایجاد نیروی الکتریکی qE می‌شود در این حالت نیروی الکتریکی به دلیل میدان مغناطیسی متحرک ایجاد می‌شود و این نیروی emf القایی را ایجاد می‌کند که توسط رابطه ماکسول فاراده توصیف می‌شود. هر دو این emf‌ها با این که منشاء متفاوت دارند با یک رابطه که شار مغناطیسی وارد بر سیم نامیده می‌شود محاسبه می‌شوند (قانون القای فاراده) نسبیت خاص انیشتن تا حدودی باعث درک بهتر این پدیده شد. در واقع نیروهای الکتریکی و مغناطیسی دو روی نیروی واحد الکترو مغناطیس هستند.

منابع[ویرایش]