بردار پوئینتینگ

الکترومغناطیس

برق · مغناطیس الکتروستاتیک بار برقی · قانون کولن میدان برقی · قانون گاوس پتانسیل برقی گشتاور دوقطبی برقی مغناطیس ساکن قانون آمپر · جریان برق میدان مغناطیسی · قانون گاوس در مغناطیسی قانون بیو−ساوار . شار مغناطیسی گشتاور دوقطبی مغناطیسی الکترودینامیک خلأ قانون نیروی لورنتس نیروی محرکه برقی · القای الکترومغناطیسی قانون فارادی · جریان جابجایی معادلات ماکسول · میدان الکترومغناطیسی تابش الکترومغناطیسی جریان گردابی · تانسور ماکسول · بردار پوئینتینگ · معادلات جفیمنکو مدار برقی رسانایی برقی مقاومت برقی · خازن · القاگر امپدانس · تشدیدگر · جریان متناوب · موج بر فرمول بندی هموردا پتانسیل لنارد−ویخرت تانسور الکترومغناطیسی تانسور تنش−انرژی الکترومغناطیسی دانشمندان کولن · آمپر · ماکسول · فارادی · هانری · هرتز · تسلا · وبر · اورستد · الیور هویساید · ولتا

بردار پوئین‌تینگ، نامِ برداری در فیزیک است. اندازه‌ی این بردار، چگالیِ انرژیِ الکترومغناطیسی‌ای را نشان می‌دهد که از واحدِ سطح در واحدِ زمان عبور می‌کند و واحدِ آن وات بر مترِ مربع (W/m²) است. این بردار، به نامِ کسی که آن را به دست آورد، جان هانری پوئین‌تینگ، نام‌گذاری شده است. این بردار از طریقِ رابطه‌ی زیر، با میدانِ الکتریکی و میدانِ مغناطیسی، پیوند می‌یابد:

$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E} \times \mathbf{B}$

که در آن:

• $\mathbf{S} \$ نشان‌دهنده‌ی بردارِ پوئین‌تینگ است.
• $\mathbf{E} \$ نشان‌دهنده‌ی بردارِ میدانِ الکتریکی است.
• $\mathbf{B} \$ نشان‌دهنده‌ی بردارِ میدانِ مغناطیسی است.

رابطه‌ها و اثبات آن‌ها

اندازه بردار پوئین‌تینگ

چگالیِ انرژیِ الکتریکی و چگالیِ انرژیِ مغناطیسی‌ای که در یک سیستم ذخیره شده است، هر کدام به ترتیب از رابطه‌هایِ زیر به دست می‌آیند:

$u_e = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left|{\mathbf{E}}\right|^2$

$u_m = \frac{1}{2}\frac{\left|{\mathbf{B}}\right|^2}{\mu_0}$

در نتیجه چگالیِ انرژیِ کلِ ذخیره شده در فضا، عبارت است از:

$u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 \left|{\mathbf{E}}\right|^2 + \frac{\left|{\mathbf{B}}\right|^2}{\mu_0}\right)$

موجِ الکترومغناطیسی در خلاء با سرعتِ نور منتشر می‌شود که آن را با c نمایش می‌دهیم. در بازه‌یِ زمانیِ $\Delta t$، این موج به اندازه‌ی $c\Delta t$ به جلو رفته است. اگر یک میدانِ پیوسته‌ی الکترومغناطیسی را در نظر بگیریم که در یک بازه‌ی زمانیِ معین به سطحی با مساحتِ A می‌تابد، آن‌گاه از هر واحدِ سطح، طولِ $c\Delta t$ از میدانِ الکترومغناطیسی عبور کرده است. اگر انرژی هر واحد از طولِ عبور کرده برابر با u که همان چگالیِ انرژی است باشد آن‌گاه انرژیِ کلِ عبور کرده در واحدِ سطح در یک بازه‌ی زمانیِ برابر خواهد بود: $u\left(\mbox{c}\Delta t\right)$ با تقسیم کردنِ‌ انرژیِ کلِ عبوری بر زمانی که این انرژی عبور کرده است، انرژیِ کلِ عبور کرده از واحدِ سطح، در واحدِ زمان، به دست می‌آید:

$\left|\mathbf{S}\right| = uc$

$\left|\mathbf{S}\right| = \frac{1}{2}\mbox{c}\left(\epsilon_0 \left|{\mathbf{E}}\right|^2 + \frac{\left|{\mathbf{B}}\right|^2}{\mu_0}\right)$

حال با توجه به اینکه $c^2 =\frac {1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ به راحتی می‌توان نشان داد که : $u_m$ و $u_e$ با هم برابر هستند. به علاوه، از آن‌جایی که موجِ الکترومغناطیسی، موجی عرضی است، میدان‌هایِ الکتریکی و مغناطیسیِ آن بر هم عمود هستند و می‌توان نشان داد که $\left|\mathbf{E}\right| = c\left|\mathbf{B}\right|$ در نتیجه با جایگذاریِ این دو رابطه در رابطه‌ی بالا، رابطه‌ی نهایی برایِ اندازه‌یِ بردارِ پوئین‌تینگ این‌گونه به دست می‌آید:

$\left|\mathbf{S}\right| = \frac {1}{\mu_o}\left|\mathbf{E}\right|\left|\mathbf{B}\right|$

دیگر رابطه‌ها

بردارِ پوئین‌تینگ، که از تعمیمِ این رابطه به بردارها ساخته شده است، برداری است که جهتِ آن، جهتِ سطحِ عبوری را نشان می‌دهد -با توجه به عمود بودنِ میدانِ الکتریکی و مغناطیسی بر هم و عرضی بودنِ موج.- و اندازه‌ی آن، اندازه‌ی انرژیِ عبوری از واحدِ سطح را در واحدِ زمان نشان می‌دهد. با توجه به آن‌که $\mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{H}$، این بردار، آن‌طور که خودِ جان پوئینتینگ، آن را نمایش می‌داد و به فرمِ‌ آبراهام معروف است، خواهد بود:

$\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H},$

یکی از دلایلِ اهمیتِ این بردار، این است که به کمکِ آن، می‌توان بسیاری از کمیت‌هایِ دیگر را به راحتی، محاسبه کرد. یکی از مهم‌ترینِ این کمیت‌ها، تابندگی یا چگالیِ تابش (Irradiance) است که از میانگینِ گرفتنِ اندازه‌ی S در یک دوره‌ی تناوب به دست می‌آید:

$I = \left \langle S \right \rangle_T = \frac {1}{2} \varepsilon_0 \left| \mathbf{E} \right|^2$

منبع‌ها

1. هشت، یوگن؛ Optics، ویرایش چهارم، صفحه‌ی ۵۴ تا ۵۷
2. ریتس، جان؛ فردریک میلفورد و رابرت کریستی؛ مبانی نظریه الکترومغناطیس؛ ویرایش سوم، ترجمه‌ی جلال صمیمی، نشر مرکز، صفحه‌ی ۴۳۱
3. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Poynting vector»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۸ آوریل ۲۰۱۲).