معادلات جفیمنکو

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
الکترومغناطیس
VFPt Solenoid correct2.svg
برق · مغناطیس

در الکترومغناطیس ٬ معادلات جفیمنکو ( نام‌گذاری شده پس از الگ جفیمنکو ) معادلاتی هستند که میدان‌های الکتریکی و میدان‌های مغناطیسی را برحسب توزیع بار الکتریکی و جریان الکتریکی زمان‌های تاخیری بیان می‌کنند.

معادلات جفیمنکو [۱]پاسخ معادلات ماکسول برای یک توزیع بار و جریان معین هستند ٬ با این فرض که میدان الکترومغناطیسی دیگری جز میدان ایجاد شده توسط همین توزیع‌ها وجود ندارد ٬ یعنی میدانی از بی‌نهایت قبل نمی‌آید.

معادلات[ویرایش]

میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی[ویرایش]

بردارهای مکان r و r′استفاده شده در محاسبات.

این معادلات ٬ میدان الکتریکی و مغناطیسی را در زمان و مکان درفضا بر حسب توزیع‌های چشمه می‌دهند: [۲]

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{r}-\mathbf{r}') - \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| c^2}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \times (\mathbf{r}-\mathbf{r}') \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

که r' مکان توزیع بار و r نقطه مورد نظر برای میدان است و نیز :

t_r = t - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}

زمان تاخیریافته را نشان می‌دهد.

یافتن معادلات از پتانسیل‌های الکترومغناطیسی[ویرایش]

با استفاده از روابط زیر که پتانسیل‌های تاخیری هستند ٬ می‌توان معادلات جفیمنکو را به‌دست آورد:[۳]

\begin{align}
& \varphi(\mathbf{r},t) = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \dfrac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'\\
& \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'\\
\end{align}

که پاسخ معادلات ماکسول در فرم پتانسیلی هستند.سپس یا جای‌گذاری در پتانسیل‌های الکترومغناطیسی

- \mathbf{E} = \nabla\varphi + \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\,, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

و با استفاده از رابطه‌ی

c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}

معادلات جفیمنکو به دست می‌آیند.

نوشتارهای مرتبط[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. اولگ دی جفیمنکو, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9. See also: David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
  2. Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
  3. Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3