تصاعد هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲ است.

در ریاضیات، تصاعد هندسی (به انگلیسی: geometric progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جمله اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت و مخالف صفر و یک . به این عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، ... یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

بنابراین شکل کلی سری هندسی به صورت زیر خواهد بود:

a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots

در رابطه‌های بالا a جملهٔ اول دنباله و r ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد بود.

ویژگی‌های اولیه[ویرایش]

n امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت r و جملهٔ اول a به صورت زیر نوشته می‌شود:

a_n = a\,r^{n-1}.

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی n\geq 1 می‌توان گفت:

a_n = r\,a_{n-1}

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است. چنانچه قدر نسبت تصاعد:

  • مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
  • منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
  • بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
  • ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
  • میان ۱ و ۱- باشد ولی صفر نباشد، جمله‌های بعدی دنباله به سمت صفر کاهش می‌یابند.
  • ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد.
  • کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.

در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

سری‌های هندسی[ویرایش]

نوشتار اصلی: سری هندسی

سری هندسی به مجموع جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.

\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n. \,

اگر دو سوی تساوی را در 1-r ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

\begin{align}
(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \\
 & {\color{White}{} = ar^0} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^n - ar^{n+1} \\
 & = a - ar^{n+1}
\end{align}

برای یک سری هندسی در صورتی که r ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}.

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند m شروع کنیم:

\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.

مشتق این رابطه نسبت به r باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

\sum_{k=0}^n k^s r^k.

برای نمونه:

\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج r را دارد را باید در 1-r^2: ضرب کرد:

(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.

آنگاه

\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

و برای سری که توان‌های فرد r را دارد:

(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}

و

\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

سری‌های هندسی نامتناهی[ویرایش]

نوشتار اصلی: سری هندسی

یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |r|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}}

از آنجایی که:

 r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| <1.

آنگاه

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}

برای سری که تنها توان‌های زوج r را دارد:

\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}

و برای توان‌های فرد:

\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}

در صورتی که مجموع از شمارشگر k = ۰ شروع نشود:

\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |r| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}

رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |r| کار می‌کند. همچنین برای۱> |r| می‌توان نوشت:

\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}

سری‌های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · · وجود دارند که مطلقاً همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.

وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · · خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقاً همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.

اعداد مختلط[ویرایش]

رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق r کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط r کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)}

چون:

\sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} ,

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right].

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

ضرب[ویرایش]

ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است.)

\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left(\sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1} (if a,r> 0).

اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}.
P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}.

در نتیجهٔ این کار:

P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1} and
P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}}،

اثبات شد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Geometric progression»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۹ اوت ۲۰۱۱).

پیوند به بیرون[ویرایش]