تصاعد هندسی

نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲ است.

در ریاضیات، تصاعد هندسی (به انگلیسی: geometric progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جمله اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت و ناصفر . به این عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، ... یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots$

بنابراین شکل کلی سری هندسی به صورت زیر خواهد بود:

$a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots$

در رابطه‌های بالا $a$ جملهٔ اول دنباله و r ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد بود.

ویژگی‌های اولیه

n امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت r و جملهٔ اول $a$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$a_n = a\,r^{n-1}.$

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی $n\geq 1$ می‌توان گفت:

$a_n = r\,a_{n-1}$

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است. چنانچه قدر نسبت تصاعد:

• مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
• منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
• بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
• ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
• میان ۱ و ۱- باشد ولی صفر نباشد، جمله‌های بعدی دنباله به سمت صفر کاهش می‌یابند.
• ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد.
• کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.

در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

سری‌های هندسی

نوشتار اصلی: سری هندسی

سری هندسی به مجموع جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.

$\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n. \,$

اگر دو سوی تساوی را در $1-r$ ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

$\begin{align} (1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n) \\ & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \\ & {\color{White}{} = ar^0} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^n - ar^{n+1} \\ & = a - ar^{n+1} \end{align}$

برای یک سری هندسی در صورتی که r ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}.$

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند m شروع کنیم:

$\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.$

مشتق این رابطه نسبت به r باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

$\sum_{k=0}^n k^s r^k.$

برای نمونه:

$\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}= \frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.$

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج r را دارد را باید در $1-r^2$: ضرب کرد:

$(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.$

آنگاه

$\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.$

و برای سری که توان‌های فرد r را دارد:

$(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}$

و

$\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.$

سری‌های هندسی نامتناهی

نوشتار اصلی: سری هندسی

یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱ > |r|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:

$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}}$

از آنجایی که:

$r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| < 1.$

آنگاه

$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}$

برای سری که تنها توان‌های زوج $r$ را دارد:

$\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}$

و برای توان‌های فرد:

$\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}$

در صورتی که مجموع از شمارشگر k = ۰ شروع نشود:

$\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}$

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱ > |r| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

$\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}= \frac{1}{(1-r)^2}$

رابطهٔ بالا تنها برای ۱ > |r| کار می‌کند. همچنین برای۱ > |r| می‌توان نوشت:

$\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}$

سری‌های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · · وجود دارند که مطلقا همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

$\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.$

وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · · خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقا همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

$\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.$

اعداد مختلط

رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق r کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط r کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)}$

چون:

$\sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} ,$

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right]$.

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

ضرب

ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است.)

$\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left(\sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1}$ (if $a,r > 0$).

اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

$P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}$.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

$P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}$.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

$P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

$P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}$.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

$P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}$.

در نتیجهٔ این کار:

$P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1}$ and

$P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}}$,

اثبات شد.

جستارهای وابسته

• دنباله
• سری هندسی
• توماس مالتوس
• تابع نمایی
• تصاعد حسابی

منابع

• Hall & Knight, Higher Algebra, p.  ۳۹, ISBN 81-8116-000-2
• Eric W. Weisstein, Geometric Series at MathWorld.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Geometric progression»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ‏۱۹ اوت ۲۰۱۱).

• ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی،۱۳۸۰ (کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشتهٔ نظری)

پیوند به بیرون

• Derivation of رابطه‌های مربوط به مجموع سری‌های هندسی متناهی و نامتناهی در Mathalino
• شمارشگر تصاعدهای هندسی
• اثبات زیبایی برای مجموع تصاعد هندسی در sputsoft.com