... ۱/۱۶ + ۱/۸ + ۱/۴ + ۱/۲

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش شش جمله اولیه سری در مربع.

در ریاضیات، سری نامحدود ... ۱/۱۶ + ۱/۸ + ۱/۴ + ۱/۲، یک مثال ابتدایی برای سری‌های هندسی است که مطلقاً همگرا هستند. مجموع این سری به صورت زیر می‌باشد:

\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac12\left({\frac 12}\right)^n = \frac {\frac12}{1-\frac 12} = 1

اثبات مستقیم[ویرایش]

به عنوان یک سری نامحدود، مجموع سری \frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots به صورت حدی از مجموع \mathit{n} جملهٔ اول خواهد بود:

s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}

به شرطی که \mathit{n} به بی‌نهایت میل کند. با ضرب s_n در ۲ خواهیم داشت:

2s_n = \frac22+\frac24+\frac28+\frac{2}{16}+\cdots+\frac{2}{2^n} = 1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = 1+s_n-\frac{1}{2^n}

با حذف کردن s_n از دو طرف داریم:

s_n = 1-\frac{1}{2^n}

با میل داد \mathit{n} به بی‌نهایت، s_n به ۱ میل خواهد کرد.

تاریخچه[ویرایش]

این سری به عنوان مثال برای یکی از پارادوکس‌های زنون استفاده می‌شد.[۱] پیش از این تصور می‌شد چشم هورس شش جمله‌ی اول این دنباله را دارد.[۲]

همچنین نگاه کنید به[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Description of Zeno's paradoxes
  2. Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6. 
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.