معادله دیفرانسیل معمولی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، معادله‌ی دیفرانسیل معمولی به معادله‌ای گفته می‌شود که در آن تابعی از تنها یک متغیر مستقل و مشتقات آن تابع نقش داشته باشند. عبارت «معمولی» در مقابل «معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی» به کار می‌رود. در معادلات دیفرانسیل مشتقات جزئی دو یا چند متغیر وجود دارد.
معادلات دیفرانسیل معمولی به دو دسته‌ی خطی و غیرخطی تقسیم می‌شوند. جواب‌های یک معادله‌ی دیفرانسیل معمولی خطی را می‌توان با عدد ثابتی جمع یا در عدد ثابتی ضرب کرد. این دسته از معادلات به طور کامل و دقیق شناخته و بررسی شده‌اند و جواب‌های بسته‌ی تحلیلی برایشان وجود دارد. در مقابل معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی وجود قرار می‌گیرد که خاصیت جمع‌پذیری برای جواب‌هایشان صادق نیست. حل این معادلات در حالت کلی پیچیده‌تر است و به ندرت می‌توان برایشان جوابی بسته بر اساس توابع مقدماتی ریاضی یافت. در عوض برای چنین معادلاتی، می‌توان جواب‌هایی به صورت سری‌ یا به فرم انتگرالی پیدا کرد. علاوه بر این، می‌توان به کمک روش‌های عددی با گرافیکی، که دستی یا رایانه‌ای قابل پیاده‌سازی‌اند، جواب معادلات دیفرانسیل غیرخطی را تخمین زد. این روش‌های تخمینی می‌توانند در غیاب جواب‌های تحلیلی و بسته، اطلاعات مفیدی در اختیار بگذارند.

پیش‌زمینه[ویرایش]

رد پای معادلات دیفرانسیل معمولی را در زمینه‌های مختلف علوم ریاضی، تجربی یا اجتماعی می‌توان یافت، زیرا این معادلات تغییرات را به زبان ریاضی بازگو می‌کنند. از آن‌جا که در این معادلات توابع، مشتقات و دیفرانسیل‌ها به یک‌دیگر پیوند می‌خوردند، از آن‌ها می‌توان برای بیان پدیده‌های دینامیکی و تغییر و تحول بهره گرفت.
از شاخه‌هایی از علوم که معادلات دیفرانسیل معمولی در آن‌ها کارکردی اساسی دارند، به عنوان نمونه می‌توان به این موارد اشاره کرد: برخی حوزه‌های ریاضی هم‌چون هندسه، علوم مهندسی هم‌چون مکانیک تحلیلی و مهندسی برق (تحلیل رفتار مدارهای الکتریکیزمین‌شناسی (پیش‌بینی آب و هوا)، شیمی (تحلیل زنجیره‌های واکنش هسته‌ای)، زیست‌شناسی (گسترش بیماری‌های عفونی، تغییرات ژنتیکی)، بوم‌شناسی و مدل‌سازی جمعیت و اقتصاد (تغییرات سود و قیمت سهام)
بسیاری از ریاضیدانان برجسته‌ی تاریخ در حل و بحث معادلات دیفرانسیل معمولی نقش داشته‌اند، از جمله: نیوتن، لایب‌نیتس، خاندان برنولی، ریکاتی، الکسی کلرو، دالامبر و اویلر.
به عنوان یک نمونه‌ی ساده از این معادلات، می‌توان به قانون دوم نیوتن در حرکت اشاره کرد، که در آن رابطه‌ی جابه‌جایی(x) و زمان(t) یک شی‌ء تحت اثر نیروی F به معادله‌ی دیفرانسیل زیر منجر می‌شود:

m \frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2} = F(x(t)),\,

در حالت کلی، F به مکان ذره ‎(x(t))‎ در زمان t وابسته است، در نتیجه تابع ناشناخته‌ی ‎ x(t)‎ در هر دو طرف معادله دیده می‌شود. [۱][۲][۳][۴]

تعاریف[ویرایش]

در این بخش فرض می‌کنیم که y متغیر وابسته و x متغیر مستقل است. در نتیجه ‎y=y(x)‎ تابعی ناشناخته از x است. نمادهای مختلفی برای مشتق‌گیری به کار می‌رود که بستگی به انتخاب نویسنده و نوع کاربرد آن دارد. در این نوشتار از نمادگذاری لایب‌نیتس (‎dy/dx،d2y/dx2،...dny/dxn‎) در نمایش دیفرانسیل‌ها و انتگرال‌گیری و از نمادگذاری نیوتن و لاگرانژ(‎y′،y′′، ... y(n)‎) برای نمایش فشرده‌ی مشتق‌گیری استفاده می‌شود.

تعریف عمومی معادله‌ی دیفرانسیل معمولی[ویرایش]

فرض کنید F تابعی معین از x، y و مشتقات y باشد. در این صورت معادله‌ای به فرم زیر:

F\left (x,y,y',\cdots y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}

یک معادله‌ی دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبه‌ی n نامیده می‌شود.
در حالت کلی‌تر، فرم ضمنی معادله‌ی دیفرانسیل معمولی از مرتبه‌ی n به شکل زیر در می‌آید:

F\left(x, y, y', y'',\ \cdots,\ y^{(n)}\right) = 0


دسته‌بندی‌های زیر برای معادلات دیفرانسیل معمولی وجود دارد:
خودگردان یا مستقل:(به انگلیسی: Autonomous) معادله‌ی دیفرانسیلی که به x وابسته نداشته باشد، خودگردان نامیده می‌شود.
خطی: یک معادله‌ی دیفرانسیل خطی نامیده می‌شود اگر بتوان F را به صورت یک ترکیب خطی از مشتقات y نوشت:

y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)

که در آن ‎ai(x)‎ و ‎r(x)‎ توابعی پیوسته از x هستند. معادلات غیرخطی را نمی‌توان به این فرم نوشت.
تابع ‎r(x)تابع ورودی نامیده می‌شود که دو دسته‌بندی مهم را برای این دسته از معادلات شکل می‌دهد:
همگن: اگر ‎r(x)=0‎ باشد، معادله را همگن می‌نامند. برای چنین معادله‌ای y=0 یک جواب بدیهی به شمار می‌آید. جواب یک معادله‌ی خطی همگن، تابع مکمل نامیده می‌شود که با yc نمایش داده می‌شود.
ناهمگن: ‎r(x) ≠ 0 ‎ معادله را ناهمگن می‌نامند. چنین معادله‌ای علاوه بر پاسخ عمومی، یک پاسخ خصوصی هم دارد که با yp بیان می‌شود. در حالت کلی جواب یک معادله‌ی دیفرانسیل معمولی را می‌توان به فرم y = yc + yp نوشت.

خلاصه‌ای از روش‌های حل برخی از معادلات[ویرایش]

برخی از معادلات دیفرانسیل جواب‌های بسته و دقیق دارند. چند دسته از این معادلات در این بخش معرفی می‌شوند. در جدول زیر P، Q، M و N توابعی انتگرال‌پذیر از x و y هستند. b و c ثوابتی معلوم و حقیقی و C1، C2 و ... ثوابتی اختیاری و در حالت کلی مختلط هستند.
در راه‌حل‌های انتگرالی λ و ε متغیرهای اختیاری انتگرال‌گیری هستند و عبارت xF(λ)dλ∫ به معنای انتگرال‌گیری از تابع ‎F(‌‌‌‌λ)‌‎ نسبت به متغیر λ است و پس از انتگرال‌گیری می‌توان به جای λ، از متغیر x استفاده کرد.

معادله‌ی دیفرانسیل روش حل پاسخ کلی
معادلات قابل تفکیک
مرتبه‌ی اول (جداپذیر نسبت به x و y)

 P_1(x)Q_1(y) + P_2(x)Q_2(y)\,\frac{dy}{dx} = 0 \,\!

 P_1(x)Q_1(y)\,dx + P_2(x)Q_2(y)\,dy = 0 \,\!

جداسازی متغیرها(تقسیم کردن طرفین بر P2Q1).  \int^x \frac{P_1(\lambda)}{P_2(\lambda)}\,d\lambda + \int^y \frac{Q_2(\lambda)}{Q_1(\lambda)}\,d\lambda = C \,\!
مرتبه‌ی اول، جداپذیر نسبت به x

\frac{dy}{dx} = F(x)\,\!

dy= F(x) \, dx\,\!

انتگرال‌گیری مستقیم y= \int^x F(\lambda) \, d\lambda + C \,\!
مرتبه اول، خودگردان و جداپذیر نسبت به y

\frac{dy}{dx} = F(y)\,\!

dy= F(y) \, dx\,\!

جداسازی متغیرها ( تقسیم کردن بر F) x=\int^y \frac{d\lambda}{F(\lambda)}+C\,\!
مرتبه اول، جداپذیر نسبت به x و y

P(y)\frac{dy}{dx} + Q(x)= 0\,\!

P(y)\,dy + Q(x)\,dx =0\,\!

انتگرال‌گیری سراسری \int^y P(\lambda)\,{d\lambda} + \int^x Q(\lambda)\,d\lambda = C\,\!
معادلات مرتبه‌ی اول عمومی
مرتبه اول، همگن

\frac{dy}{dx} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!

قرار دادن y = uxو سپس حل کردن با جداسازی متغیرها نسبت به u و x  \ln (Cx) = \int^{y/x} \frac{d\lambda}{F(\lambda) - \lambda} \, \!
مرتبه‌ی اول، قابل جداسازی

 yM(xy) + xN(xy)\,\frac{dy}{dx} = 0 \,\!

 yM(xy)\,dx + xN(xy)\,dy = 0 \,\!

جداسازی متغیرها (تقسیم کردن بر xy)

 \ln (Cx) = \int^{xy} \frac{N(\lambda)\,d\lambda}{\lambda [N(\lambda)-M(\lambda)] } \,\!

اگر N = M، آن‌گاه پاسخ برابر با xy = C است.

معادله‌ی کامل، مرتبه‌ی اول

 M(x,y) \frac{dy}{dx} + N(x,y) = 0 \,\!

 M(x,y)\,dy + N(x,y)\,dx = 0 \,\!

که در آن  \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial y} \, \!

انتگرال‌گیری سراسری  \begin{align}
F(x,y) & = \int^y M(x,\lambda)\,d\lambda + \int^x N(\lambda,y)\,d\lambda \\
 & + Y(y) + X(x) = C 
\end{align} \,\!

که در آن ‎Y(y)‎ و ‎X(x)‎ توابعی از انتگرال‌ها هستند (نه مقادیر ثابت) که به گونه‌ای تعیین می‌شوند تا تابع نهایی ‎n F(x, y)‎ معادله‌ی اولیه را ارضا کند.

معادله‌ی غیرکامل، مرتبه‌ی اول

 M(x,y) \frac{dy}{dx} + N(x,y) = 0 \,\!

 M(x,y)\,dy + N(x,y)\,dx = 0 \,\!

که در آن  \frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y} \, \!

عامل انتگرال‌گیری ‎μ(x, y)‎ که رابطه‌ی زیر را برآورده کند:

 \frac{\partial (\mu M)}{\partial x} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial y} \, \!

اگر ‎μ(x, y)‎ پیدا شود:

 \begin{align}
F(x,y) & = \int^y \mu(x,\lambda)M(x,\lambda)\,d\lambda + \int^x \mu(\lambda,y)N(\lambda,y)\,d\lambda \\
& + Y(y) + X(x) = C \\
\end{align} \, \!

معادلات عمومی مرتبه‌ی دوم
مرتبه دوم، خودگردان[۵]

\frac{d^2y}{dx^2} = F(y) \,\!

معادله را در 2dy/dx ضرب کنید، عبارت زیر را جایگزین کنید: 2 \frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \,\! سپس دو بار انتگرال بگیرید.  x = \pm \int^y \frac{ d \lambda}{\sqrt{2 \int^\lambda F(\epsilon) \, d \epsilon + C_1}} + C_2 \, \!
معادلات خطی تا درجه‌ی nام
مرتبه‌ی اول، ناهمگن، خطی با ضرایب تابعی

\frac{dy}{dx} + P(x)y=Q(x)\,\!

عامل انتگرال‌گیری: e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda} y = e^{- \int^x P(\lambda) \, d\lambda}\left[\int^x e^{\int^\lambda P(\epsilon) \, d\epsilon}Q(\lambda) \, {d\lambda} +C \right]
مرتبه‌ی دوم، خطی، ناهمگن، ضرایب ثابت[۶]

\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = r(x)\,\!

پاسخ عمومی: با حل معادله‌ی مشخصه به دست می‌آید.

پاسخ ویژه: با حدس زدن تابعی شبیه به تابع r و جای‌گذاری در معادله‌ی دیفرانسیل به دست می‌آید.

y=y_c+y_p

اگر b2 > 4c, آن‌گاه:

y_c=C_1e^{ \left ( -b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}} + C_2e^{-\left ( b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}}\,\!

اگر b2 = 4c، آن‌گاه:

y_c = (C_1x + C_2)e^{-bx/2}\,\!

اگر b2 < 4c، آن‌گاه:

 y_c = e^{ -b\frac{x}{2}} \left [ C_1 \sin{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} + C_2\cos{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ]  \,\!

درجه‌ی nام، خطی، ناهمگن با ضرایب ثابت

 \sum_{j=0}^n b_j \frac{d^j y}{dx^j} = r(x)\,\!

تایع مکمل yc: فرض کنید yc = eαx، با جایگزین و حل کردن چندجمله‌ای نسبت به α توابع ناوابسته‌ی خطی e^{\alpha_j x} را پیدا کنید.

پاسخ ویژه: با حدس زدن تابعی شبیه به تابع r و جای‌گذاری در معادله‌ی دیفرانسیل به دست می‌آید.

y=y_c+y_p

از آن‌جا که αj جواب‌های یک چندجمله‌ای از درجه‌ی n است،
 \prod_{j=1}^n \left ( \alpha - \alpha_j \right ) = 0 \,\!، پس:

برای αj های متمایز:

 y_c = \sum_{j=1}^n C_j e^{\alpha_j x} \,\!

برای هر ریشه‌ی αj که kj بار تکرار شده‌است:

 y_c = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{\ell=1}^{k_j} C_\ell x^{\ell-1}\right )e^{\alpha_j x} \,\!

منابع[ویرایش]

  1. Kreyszig (1972, p. 64)
  2. Simmons (1972, pp. 1,2)
  3. Halliday & Resnick (1977, p. 78)
  4. Tipler (1991, pp. 78–83)
  5. Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  6. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3