مربع کامل

همچنین ببینید: مربع (ابهام‌زدایی)

در ریاضیات، مربع کامل عددی صحیح است که به صورت مجذور یک عدد صحیح دیگر باشد، یا به عبارتی بتوان آن را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در خودش نوشت. مثلا عدد ۲۵ یک مربع کامل است چون می‌توان آن را به صورت ۵×۵ نوشت. مربع کامل غیر منفی است و روش دیگر تعریف آن این است که بگوییم ریشه دوم آن عددی صحیح باشد، مثلاً $\sqrt{9}=3$ می‌باشد پس ۹ یک مربع کامل است. این اعداد خاصیت‌های جالبی دارند از جمله اینکه تعداد مقسوم علیه‌های این اعداد فرد است، بنابراین یکی از راه‌های تشخیص این اعداد همین نکته است. نکته دیگر اینکه حاصل جمع اعداد فرد متوالی مربع کامل است یعنی: ۱=۱ ۱+۳=۴ ۱+۳+۵=۹ ۱+۳+۵+۷=۱۶ ۱+۳+۵+۷+۹=۲۵ . . . همچنین: هر عدد که ریشه ی آن ( 9*7*4*1 ) باشد. مربع کامل است.

اگر مربع عدد زوج و یا مربع عدد فرد را بر 4 تقسیم کنیم باقیمنده 0 یا 1 می شود.

هر عددی که مربع کامل باشد. رقم دهگانش زوج است.

مثال

۵۰ مربع کامل طبیعی نخست:

۱^۲ = ۱

۲^۲ = ۴

۳^۲ = ۹

۴^۲ = ۱۶

۵^۲ = ۲۵

۶^۲ = ۳۶

۷^۲ = ۴۹

۸^۲ = ۶۴

۹^۲ = ۸۱

۱۰^۲ = ۱۰۰

۱۱^۲ = ۱۲۱

۱۲^۲ = ۱۴۴

۱۳^۲ = ۱۶۹

۱۴^۲ = ۱۹۶

۱۵^۲ = ۲۲۵

۱۶^۲ = ۲۵۶

۱۷^۲ = ۲۸۹

۱۸^۲ = ۳۲۴

۱۹^۲ = ۳۶۱

۲۰^۲ = ۴۰۰

۲۱^۲ = ۴۴۱

۲۲^۲ = ۴۸۴

۲۳^۲ = ۵۲۹

۲۴^۲ = ۵۷۶

۲۵^۲ = ۶۲۵

۲۶^۲ = ۶۷۶

۲۷^۲ = ۷۲۹

۲۸^۲ = ۷۸۴

۲۹^۲ = ۸۴۱

۳۰^۲ = ۹۰۰

۳۱^۲ = ۹۶۱

۳۲^۲ = ۱۰۲۴

۳۳^۲ = ۱۰۸۹

۳۴^۲ = ۱۱۵۶

۳۵^۲ = ۱۲۲۵

۳۶^۲ = ۱۲۹۶

۳۷^۲ = ۱۳۶۹

۳۸^۲ = ۱۴۴۴

۳۹^۲ = ۱۵۲۱

۴۰^۲ = ۱۶۰۰

۴۱^۲ = ۱۶۸۱

۴۲^۲ = ۱۷۶۴

۴۳^۲ = ۱۸۴۹

۴۴^۲ = ۱۹۳۶

۴۵^۲ = ۲۰۲۵

۴۶^۲ = ۲۱۱۶

۴۷^۲ = ۲۲۰۹

۴۸^۲ = ۲۳۰۴

۴۹^۲ = ۲۴۰۱

۵۰^۲ = ۲۵۰۰

خواص

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25