‎۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …‎

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو


چند هزار حاصل جمع جزئی از دنباله … + ۴ − ۳ + ۲ − ۱

‎۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …‎ یک سری از اعداد طبیعی متوالی است که متناوباً تفریق و جمع می‌شوند. مجموع m جمله اول از این سری را می‌توان با روش سیگما از رابطه زیر بدست آورد:

\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}

این سری بی‌پایان و همچنین واگراست. پس حد ندارد. اما در قرن ۱۸ میلادی لئونارد اویلر معادله زیر را نوشت و می‌دانست که متناقض با اصل فوق است:

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}

اثبات اویلر[ویرایش]

اویلر به شکل زیر توانست ثابت کند که دنباله بالا همگرا به عدد ۴ است


\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+&(1-2+3-4+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
 &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}

دنباله‌های مشابه[ویرایش]

دنباله‌های دیگری نیز همانند این دنباله وجود دارند. برای نمونه، می‌توان نشان داد که دنباله زیر به عدد \frac{1}{2} همگرا است. این در حالی است که دنباله تنها از اعداد ۰ و ۱ تولید شده است و نباید انتظار داشت به عددی ناکامل همگرا شود.

1-1+1-1+... =1/2

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «‎۱ − ۲ + ۳ − ۴ + · · ·‎»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۷ مارس ۲۰۰۹).