تابع مولد احتمال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه احتمالات، تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی گسسته، یک نمایش سری‌های توانی از تابع جرمی احتمال یک متفیر تصادفی است. توابع مولد احتمال معمولاً برای ایجاز در توصیفات دنباله‌ای از احتمالات Pr(X) = i، و همچنین فراهم ساختن یک فرضیه مناسب از سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، به کار گرفته می‌شوند.

تعریف[ویرایش]

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیری از بعضی زیر مجموعه‌های نا-منفی اعداد صحیح {...،۱،۲} اتخاذ کند، آنگاه تابع مولد احتمال X اینگونه تعریف می‌گردد:

G(z) = \textrm{E}(z^X) = \sum_{i=0}^{\infty}f(i)z^i,

که در آن f تابع جرمی احتمالX است. دقت کنید که نشانه‌گذاری معادل GX بعضی مواقع برای متمایز ساختن توابع مولد احتمال متغیرهای تصادفی مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

خواص[ویرایش]

سری‌های توانی[ویرایش]

توابع مولد احتمال از تمام قوانین سری‌های توانی با ضرایبِ نا-منفی تبعیت می‌کنند. به طور خاص G(۱-) = ۱، تا زمانی‌که احتمالات باید ۱ واحد افزوده شوند و در جاییکه G(۱-) = limz→۱G(z)، آن‌گاه طبق قضیهٔ آبل برای سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، شعاع همگرایی هر تابع مولد احتمال باید حداقل ۱ باشد.

توابع برای متغیرهای تصادفی مستقل[ویرایش]

توابع مولد احتمال بطور خاص برای کار کردن با توابع متغیرهای تضادفی مستقل، کاربرد دارند. به عنوان مثال:

اگر X۱، X۲، ...، Xn یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل (و نه لزوماً با توزیع یکنواخت) باشند و همچنین

S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

که در آن a'iها ثابت هستند، آنگاه تابع مولد احتمال بدین شکل است:

E(z^{S_n}) = E(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{S_n}(z) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\ldots G_{X_n}(z^{a_n}).

به عنوان مثال اگر:

S_n = \sum_{i=1}^n X_i,

آنگاه تابع مولد احتمالِ (GSn(z به شکل زیر است:

G_{S_n}(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(z)\ldots G_{X_n}(z).

همچنین تابع مولد احتمالِ اختلاف میان دو متغیر تصادفی (S = X۱X۲) برار است با:

G_S(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(1/z).

مثال‌ها[ویرایش]

G(z) = \left(z^c\right).
  • تابع مولد احتمال یک متغیر تصافی با توزیع دوجمله‌ای، تعداد موفقیت‌ها درn آزمایش، با احتمال موفقیت p در هر مرحله برابر است با:
G(z) = \left[(1-p) + pz\right]^n.
  • تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی که در آن تعداد آزمایش‌های لازم برای رسیدن به rامین موفقیت با احتمال موفقیت p در هر آزمایش، برابر است با:
G(z) = \left(\frac{pz}{1 - (1-p)z}\right)^r.
  • تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی پواسون با نرخ λ برابرست با:
G(z) = \left(\textrm{e}^{\lambda(z - 1)}\right).

توابع مولد احتمال متصل[ویرایش]

مفهوم تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی تنها، می‌تواند به تابع مولد احتمال متصل برای دو یا بیشتر متغیر تصادفی نیز تعمیم داده شود.


منابع[ویرایش]

مفاهیم مرتبط[ویرایش]

از تابع مولد احتمال به‌ندرت با نام تبدیلِ z یک تابع جرمی احتمال نیز یاد می‌شود. این یک نمونه از تابع مولد یک دنباله نیز هست(به سری‌های توانی منظم رجوع شود).