تبدیل فوریه گسسته‌زمان

تبدیل فوریه
تبدیل فوریه پیوسته
سری فوریه
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه گسسته‌زمان
تبدیل‌های مرتبط

تبدیلِ فوریه‌ٔ گسسته‌زمان (به انگلیسی: Discrete-time Fourier transform (DTFT))‏ یکی از انواع تبدیل فوریه است. بدین ترتیب، با استفاده از این تبدیل تابعی (که معمولاً در حوزه زمان تعریف می‌شود) به تابعی دیگر در حوزه فرکانس انتقال می‌یابد، منتها با این تفاوت که تابع ورودی برای تبدیل DTFT باید تابعی گسسته باشد. این تابع و یا سیگنال ورودی معمولاً با نمونه‌برداری از یک تابع پیوسته مانند صدای انسان پدید می‌آیند.

تعریف

اگر (صحیح) $x[n], \; n\in\mathbb{Z}$ تابعی گسسته با مقادیر حقیقی و یا مختلط باشد، آنگاه تبدیل گسسته زمانی فوریه آن چنین تعریف می‌شود:

$X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}$

جدول تبدیل گسسته‌زمان فوریه

حوزه زمان $x[n] \,$	حوزه فرکانس $X(\omega) \,$	توضیحات
$\delta [n] \!$	$1 \!$
$\delta [n - M] \!$	$e^{-i \omega M} \!$	M عدد صحیح
$\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \,$	$\sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \,$	M عدد صحیح
$u[n]\!$	$\frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!$
$e^{-ian} \!$	$2\pi \delta (\omega + a) \,$	a عدد حقیقی
$\cos (a n) \!$	$\pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right]$	a عدد حقیقی
$\sin (a n) \!$	$\frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta ( \omega + a) \right]$	a عدد حقیقی
$\mathrm{rect} \left[ { ( n - M/2 ) \over M } \right]$	${ \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin( \omega / 2 ) } \, e^{ -i \omega M / 2 }$	M عدد صحیح
$\operatorname{sinc} [(a + n)]$	$e^{i a \omega} \!$	a عدد حقیقی
$W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\,$	$\operatorname{tri} \left( { \omega \over 2\pi W } \right)$	عدد حقیقی W $0 < W \le 0.5$
$W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)]$	$\operatorname{rect} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega}$	اعداد حقیقی W, a $0 < W \le 1$
$\begin{cases} 0 & n=0 \\ \frac{(-1)^n}{n} & \mbox{elsewhere} \end{cases}$	$j \omega$	فیلتر مشتق‌گیر
$\frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\}$	$j \omega \cdot \operatorname{rect} \left( { \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega}$	اعداد حقیقی W, a $0 < W \le 1$
$\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1]$	$| \omega | \!$
$\begin{cases} 0; & n \mbox{ odd} \\ \frac{2}{\pi n} ; & n \mbox{ even} \end{cases}$	$\begin{cases} j & \omega < 0 \\ 0 & \omega = 0 \\ -j & \omega > 0 \end{cases}$	تبدیل هیلبرت
$\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right]$		اعداد حقیقی A, B عدد مختلطC

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «DTFT»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸).