تبدیل فوریه گسسته‌زمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تبدیل فوریه
Fourier2.jpg
تبدیل فوریه پیوسته
سری فوریه
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه گسسته‌زمان
تبدیل‌های مرتبط


تبدیلِ فوریه‌ٔ گسسته‌زمان (به انگلیسی: Discrete-time Fourier transform (DTFT)) یکی از انواع تبدیل فوریه است. بدین ترتیب، با استفاده از این تبدیل تابعی (که معمولاً در حوزه زمان تعریف می‌شود) به تابعی دیگر در حوزه فرکانس انتقال می‌یابد، منتها با این تفاوت که تابع ورودی برای تبدیل DTFT باید تابعی گسسته باشد. این تابع و یا سیگنال ورودی معمولاً با نمونه‌برداری از یک تابع پیوسته مانند صدای انسان پدید می‌آیند.

تعریف[ویرایش]

اگر (صحیح) x[n], \; n\in\mathbb{Z} تابعی گسسته با مقادیر حقیقی و یا مختلط باشد، آنگاه تبدیل گسسته زمانی فوریه آن چنین تعریف می‌شود:

X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}


جدول تبدیل گسسته‌زمان فوریه[ویرایش]

حوزه زمان
 x[n] \,
حوزه فرکانس
  X(\omega) \,
توضیحات
\delta [n] \! 1 \!
\delta [n - M] \! e^{-i \omega M} \! M عدد صحیح
\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \, \sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \, M عدد صحیح
u[n]\! \frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!
e^{-ian} \!  2\pi \delta (\omega + a)  \, a عدد حقیقی
\cos (a n) \! \pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right] a عدد حقیقی
\sin (a n) \! \frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta ( \omega + a) \right] a عدد حقیقی
 \mathrm{rect} \left[ { ( n - M/2 ) \over M  } \right]  { \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin( \omega / 2 ) } \,  e^{ -i \omega M / 2 } M عدد صحیح
\operatorname{sinc} [(a + n)] e^{i a \omega} \! a عدد حقیقی
W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\, \operatorname{tri} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) عدد حقیقی W
0 <W \le 0.5
W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)] \operatorname{rect} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega} اعداد حقیقی W, a
0 <W \le 1
 
\begin{cases}
0 & n=0 \\
\frac{(-1)^n}{n} & \mbox{elsewhere}
\end{cases}
j \omega فیلتر مشتق‌گیر
\frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\} j \omega \cdot \operatorname{rect} \left( { \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega} اعداد حقیقی W, a
0 <W \le 1
\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1] | \omega | \!

\begin{cases}
0; & n \mbox{ odd} \\
\frac{2}{\pi n} ; & n \mbox{ even}
\end{cases}

\begin{cases}
j & \omega <0 \\
0 & \omega = 0 \\
-j & \omega> 0
\end{cases}
تبدیل هیلبرت
\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right] Trapezoid signal.png اعداد حقیقی A, B
عدد مختلطC

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «DTFT»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸).