تانسور ریمان

تانسورها
واژه‌نامه نظریه تانسورها
دامنه ریاضیات دستگاه مختصات جبر چندخطی هندسه اقلیدسی هندسه دیفرانسیل حساب دیفرانسیل خارجی حساب تانسوری فیزیک و مهندسی مکانیک محیط‌های پیوسته الکترومغناطیس پدیده‌های انتقال نسبیت عام بینایی رایانه‌ای
نمادگذاری نمادگذاری اندیسی نمادگذاری چند اندیسی قرارداد جمع‌زنی اینشتین حساب ریتچی نمایش گرافیکی پنروز نمادگذاری فوکت نمادگذاری نمایه انتزاعی تتراد(نمادگذاری اندیسی) نمادگذاری ون در وائردن
تعاریف مرتبط tensor (intrinsic definition) میدان تانسوری چگالی تانسور مختصات خمیده‌خط تانسور مخلوط تانسور پادمتقارن تانسور متقارن بسته تانسور
عملیات‌ها ضرب تانسوری ضرب فوکت فشرده سازی تانسور ترانهاده (تانسورهای مرتبه دو) بالابردن و پایین آوردن اندیسها دوگانه هاج مشتق هموردا مشتق خارجی مشتق خارجی هموردا مشتق لی
مفاهیم مرتبط بعد بردار, فضای برداری چندبردار هموردایی و پادوردایی بردارها نگاشت خطی ماتریس (ریاضی) ماتریس‌های گاما فرمول‌بندی کارتان(فیزیک) فرم دیفرانسیلی شکل خارجی شکل اتصال اسپینور بسته اسپینور ژئودزیک خمینه بسته فیبر
تانسورهای مهم ریاضیات دلتای کرونکر نماد لوی-چیویتا تانسور متریک نمادهای کریستوفل خمش ریچی تانسور ریمان تانسور ویل تانسور پیچش فیزیک ممان اینرسی تکانه زاویه‌ای تنش (فیزیک) تانسور ضربه-انرژی تانسورهای الکترومغناطیس تانسور شدت میدان گلوئون تانسور اینشتین تانسور متریک(نسبیت عام)
ریاضی‌دان‌ها لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس آگوستین لویی کوشی هرمان گراسمان گرگریو ریتچی کورباسترو تولیو لوی چیویتا برنهارت ریمان الوین برونو کریستوفل ولدمار فوکت الی کارتان هرمان ویل آلبرت اینشتین

در هندسه دیفرانسیل، تانسور ریمان یا تانسور انحنا ریمان برای مشخص کردن انحنا یک خمینه به کار می‌رود. استفاده فراوان در نسبیت عام دارد. بر حسب نمادهای کریستوفل این‌گونه نوشته می‌شود:

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

در این معادله:

• ${R^\rho}_{\sigma\mu\nu}$ تانسور ریمان
• $\Gamma^\rho_{\nu\sigma}$ نماد کریستوفل

با تنجش تانسور ریمان، تانسور ریچی به دست می‌آید:

$R_{\mu\nu} = {R^\lambda}_{\mu\lambda\nu}.$

با استفاده از متریک و تنجش تانسور ریچی به نرده‌ای، نرده‌ای ریچی یا انحنا به دست می‌آید:

$R={R^\mu}_{\mu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

تقارنهای تانسور ریمان

تانسور ریمان تقارن‌هایی به شرح زیر دارد:

۱-تعویض دو اندیس آخر یا دو اندیس اول

$R_{\rho \sigma\mu\nu}^{}=-R_{\rho\sigma\nu\mu}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}$

۲-تعویض جفت اول اندیس‌ها با جفت دوم

$R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}=R_{\mu\nu\rho\sigma}$

۳-جمع جایگشت‌ها روی سه اندیس آخر

$R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}+R_{\rho\mu\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\mu}=0$

۴-اتحاد بیانچی

$\nabla _[{_\lambda }R _{\rho\sigma ]\mu\nu}=0\,$

منابع

• Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997