تانسور ریمان

در هندسه دیفرانسیل، تانسور ریمان یا تانسور انحنا ریمان برای مشخص کردن انحنا یک خمینه به کار می‌رود. استفاده فراوان در نسبیت عام دارد. بر حسب نمادهای کریستوفل این‌گونه نوشته می‌شود:

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

در این معادله:

• ${R^\rho}_{\sigma\mu\nu}$ تانسور ریمان
• $\Gamma^\rho_{\nu\sigma}$ نماد کریستوفل

با تنجش تانسور ریمان، تانسور ریچی به دست می‌آید:

$R_{\mu\nu} = {R^\lambda}_{\mu\lambda\nu}.$

با استفاده از متریک و تنجش تانسور ریچی به نرده‌ای، نرده‌ای ریچی یا انحنا به دست می‌آید:

$R={R^\mu}_{\mu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

تقارنهای تانسور ریمان

تانسور ریمان تقارن‌هایی به شرح زیر دارد:

۱-تعویض دو اندیس آخر یا دو اندیس اول

$R_{\rho \sigma\mu\nu}^{}=-R_{\rho\sigma\nu\mu}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}$

۲-تعویض جفت اول اندیس‌ها با جفت دوم

$R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}=R_{\mu\nu\rho\sigma}$

۳-جمع جایگشت‌ها روی سه اندیس آخر

$R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}+R_{\rho\mu\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\mu}=0$

۴-اتحاد بیانکی

$\nabla _[{_\lambda }R _{\rho\sigma ]\mu\nu}=0\,$

منبع

• Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997