تانسور ریمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

در هندسه دیفرانسیل، تانسور ریمان یا تانسور انحنا ریمان برای مشخص کردن انحنا یک منیفلد به کار می‌رود. استفاده فراوان در نسبیت عام دارد. بر حسب نمادهای کریستوفل این‌گونه نوشته می‌شود:

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

در این معادله:

  • {R^\rho}_{\sigma\mu\nu} تانسور ریمان
  • \Gamma^\rho_{\nu\sigma} نماد کریستوفل

با تنجش تانسور ریمان، تانسور ریچی به دست می‌آید:

R_{\mu\nu} = {R^\lambda}_{\mu\lambda\nu}.

با استفاده از متریک و تنجش تانسور ریچی به اسکالر، اسکالر ریچی یا انحنا به دست می‌آید:

R={R^\mu}_{\mu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}

[ویرایش] تقارنهای تانسور ریمان

تانسور ریمان تقارن‌هایی به شرح زیر دارد:

۱-تعویض دو اندیس آخر یا دو اندیس اول

R_{\rho \sigma\mu\nu}^{}=-R_{\rho\sigma\nu\mu}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}

۲-تعویض جفت اول اندیس‌ها با جفت دوم

R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}=R_{\mu\nu\rho\sigma}

۳-جمع جایگشت‌ها روی سه اندیس آخر

R_{\rho\sigma\mu\nu}^{}+R_{\rho\mu\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\mu}=0

۴-اتحاد بیانکی

\nabla _[{_\lambda }R _{\rho\sigma ]\mu\nu}=0\,

[ویرایش] منبع

‎

  • Sean M.Carooll, "Lecture Notes On General Relativity", arXiv:gr-qc/9712019 v1 3 Dec 1997
برگرفته از «http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D9%86%D8%B3%D9%88%D8%B1_%D8%B1%DB%8C%D9%85%D8%A7%D9%86»