کره ریمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، کره ریمان که به نام برنارد ریمان لقب گرفت؛ تنها راه برای نمایش صفحه گسترش یافته مختلط است (صفحه مختلط به اضافهٔ یک نقطه در بینهایت) به طوری که دقیقاً نقطه در بی نهایت به مانند یک عدد مختلط دیده می‌شود. کاربرد اصلی آن در رابطه با توابع مختلط گسترش یافته است (که می‌توانند در بینهایت تعریف شوند و یا به ازای اعداد مختلطی مقدار بی نهایت بگیرند). به همین طریق می‌توانند در نقطهٔ بی نهایت به مانند هر عدد مختلط دیگر پیوستگی و مشتق پذیری را ملحوظ دارند. از دید هندسی صفحه که با نقاط، خطوط، و زوایا به استثنای فاصله‌ها سروکار دارد، کره ریمان با اضافه کردن یک نقطه در بی نهایت که تمام خطوط را قطع می‌کند ساخته می‌شود که در آن نفطه، خطوط موازی مماس بایکدیگر و بقیه خطها با همان زاویه‌ای که در نقطهٔ برخورد موجود دارند یکریگر را قطع می‌کنند. این هندسه به عنوان هندسهٔ کرهٔ دو بعدی شناخته می‌شود که از صفحهٔ گسترش یافتهٔ مختلط با استفاده از کنج نگاری شکل گرفته است. به فرمی که خطها، در صفحهٔ مختلط به دایره‌هایی از میان بینهایت تبدیل می‌شوند. زاویه‌ها در کرهٔ ریمان همان زاویه‌ها در صفحهٔ مختلط هستند (و به همان درستی، زوایا در بی نهایت همان زوایا با انتخاب طبیعی بین دو خط می‌باشند.) از نظر توپولوژیکی کره ریمان فشرده سازی تک نقطه‌ای از صفحهٔ مختلط است. کره ریمان را می‌توان به راحتی با یک کره دو بعدی هندسی تعریف کرد . در نگاه کلی نقطهٔ بی نهایت نقش یکسانی در قبال تمام نقاط واقع در صفحهٔ مختلط دارد.

مقدمهٔ هندسی[ویرایش]

تعریف می کنیم \widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\} (برای مثال صفحهٔ مختلط گسترش یافته).کرهٔ زیمان بر اساس یک تبدیل از \widehat{\mathbb{C}} به \widehat{\mathbb{C}} در فرم است.

w = f(z) = \frac{1}{z},

که

w, z \in \widehat{\mathbb{C}} and \frac{1}{0} = \infty.

ما کرهٔ زیمان را به مثابه یک کره در فضای سه بعدی تصور می کنیم.مثلاً در \mathbb{R}^3. در ارتباط با تبدیل بالا هر نقطه دو مولفهٔ z و w است که f(z) کره را به خودش تبدیل می‌کند.

کنج نگاری[ویرایش]

تناظر یک به یک میان کره (نموده شده بایک دایره )و صفحه مختلط گسترش یافته (نموده شده با یک خط ).

برای بر قراری تناظر یک به یک میان نقاط روی صفحهٔ مختلط گسترش یافته و کره ریمان، ما نخست z صفحه را مماس با قطب شمال کره قرار می دهیم .و سپس کنج نکاری را از قطب جنوب کره اعمال می کنیم .به این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحهٔ مختلط و کره را قطع می‌کند را رسم می کنیم .که تناظر یک به یک منحصربه‌فرد مطلوب را ایجاد می‌کند. برای کامل کردن این تناظر یک به یک ما پیرو قاعدهٔ بالا قطب جنوب را z = \infty. قرار می دهیم، با توجه به این که z = 0 قطب شمال است .

تناظر بین صفحهٔ w و کرهٔ ریمان از راه دیگری نیز ممکن است . به سادگی "وارون" می کنیم و صفحه w را مماس به قطب جنوب و به جهت مقابل صفحهٔ z قرار می دهیم، به گونه‌ای که w = 1, i, -1, -i وصل می‌شود به z = 1, -i, -1, i و سپس کنج نگاری را از قطب جنوب انجام می دهیم و قطب شمال را w = \infty تعریف می کنیم .حالا هر نقطه روی کره zوw همپایهٔ خود را در تبدیل بالا دارد . شکل سمت راست نمایش دو بعدی کنج نگاری را از سمت راست نشان می‌دهد . با وجود این که شباهت به هم خورده‌ای از نگاشتن به w است، مخصوص به کرهٔ ریمان نیست .

نوع دیگر از کنج نگاری[ویرایش]

روش دیگر کنج نگاری صفحه‌ها را روی خط استوا قرار می‌دهد . اما تقابل آنها را حفظ می‌کند . لذا صفحه‌ها از نطر هندسی متمایز نیستند . این روش کره ریمان در توسعه ریاضیات کمتر مورد توجه است . اما به نظر می‌رسد که در فیزیک محبوب است . برای مثال راجر پنروز در پیشبرد نظریهٔ حافظهٔ پیچشی از آن استفاده کرده است .

خصوصیات هندسی مطلب[ویرایش]

الگو:مقالهٔ اصلی تبدیلات موبیوس که از \widehat{\mathbb{C}} به \widehat{\mathbb{C}} هستند یک خود ریختی از کره ریمان هستند

t = f(z) = \frac{az + b}{cz + d},

کهt, z \in \widehat{\mathbb{C}}، a, b, c, d \in \mathbb{C}، و ad
- bc \neq 0. اینها کرهٔ ریمان رت به خودش می نگارند و زاویه‌ها و جهت‌ها را حفظ می‌کنند . این می‌تواند مستقیماً دیده شود، زیرا آنها می‌توانند به صورت ترکیبی از نقشه‌ها در فرم بیان شوند .

z \rightarrow r z\,
z \rightarrow z e^{i\theta}\,
z \rightarrow z + z_0\,
z \rightarrow \frac{1}{z}\,

(که r و \theta اعداد حقیقی هستند و z_0 یک عدد مختلط است ) اینها مرتب هستند .

اتساعها، چرخشهاو تبدیلهای ابتدایی و وارون سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایرهٔ واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی ) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند .استفاده از

 :z\rightarrow \frac{1}{z}\;

به ما اجازه می‌دهد که درستی آن را در بی نهایت چک کنیم .

ساختمان مختلط[ویرایش]

ساختمان منیفلد مختلط رو صفحهٔ ریمان به وسیلهٔ یک اطلس با دو نمودار به عنوان جریان مشخص شده است.

f:\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{\infty\} \to \mathbb{C},\ f(z)=z
g:\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{0\} \to \mathbb{C},\ g(z)=\frac{1}{z}\mbox{ and }g(\infty) = 0.

این دو نمودار بجز در 0 و ∞ روی هم می افتند . در این روی هم افتادگی تابع گذار به صورت z → 1/zداده شده است . که به وضوح هلومورفیک است . و بدینگونه ساختمان مختلط را تعریف می‌کند . کره ریمان همان توپولوژی S2 را دارد . که کره به شعاع 1 در فضای اقلیدسی R3 است. یک همومورفیزم بین آنها به وسیلهٔ کنج نگاری مماس به قطب جنوب روی صفحهٔ مختلط داده می‌شود . نقطه‌ها در S2 بصورت(x1, x2, x3) که x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 همومورفیزم این است:

(x_1, x_2, x_3)\to \frac{x_1-i x_2}{1-x_3}.

این، قطب جنوب را به مرکز صفحهٔ مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می‌کند . بر حسب مختصات کروی (θ, φ)، با :

(\theta, \phi)\to
e^{-i\phi}\cot\frac{\theta}{2}.

رابطه زیر قطب شمال را به مرکز و قطب جنوب رابه ∞ نقش می‌کند . با فرمول زیر :

(x_1, x_2, x_3) \to \frac{x_1+i x_2}{1+x_3}

یا در مختصات کروی :

(\theta, \phi)\to
e^{i\phi}\tan\frac{\theta}{2}.

خط انعکاسی مختلط[ویرایش]

کرهٔ ریمان را می‌توان با خط انعکاسی مختلط ,, CP1 فهمید.صریحاً با رابطه زیر ایزومورفیزم داده می‌شود:

[z_1 : z_2]\leftrightarrow z_1/z_2

که [z1 : z2] مختصات متوافق روی CP1 هستند، با توجه به اینکه صفحهٔ مختلط روی خط انعکاسی به عنوان زیرمجموعه می نشیند .

\{[z,1] : z \in \mathbb C\}

در حالی که نقطه در بینهایت به وسیلهٔ [1 : 0] در مختصات متوافق داده می‌شود .

خصوصیات[ویرایش]

در رده بندی رویه‌های زیمان گروه اتومورفیزم از کرهٔ ریمان همان گروه تبدیلات موبیوس است اینها فقط تبدیلات خطوط انعکاسی PGL2 C روی CP1 هستند . کرهٔ ریمان یکی از سه رویهٔ متصل شدهٔ سادهٔ ریمان است. دو تای دیگر صفحهٔ مختلط و صفحهٔ هایپربولیک هستند . این عبارت با قضیهٔ یکنواخت سازی شناخته می‌شود و برای رده بندی رویه‌های ریمان مهم است .

همچنین نگاه کنید به[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ کره ریمان موجود است.

صفحه مختلط