انحنای ریچی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در هندسه دیفرانسیل، تانسور خمش ریچی (به انگلیسی: Ricci curvature) که برگرفته از نام گرگریو ریتچی کورباسترو (Gregorio Ricci-Curbastro) می باشد، مقدار انحراف حجم یک گوی ژئودزیک در یک خمینه ریمانی از حجم گوی استاندارد در فضای اقلیدسی را نمایش می دهد. بدین ترتیب این تانسور راهی برای اندازه گیری میزان تفاوت میان هندسه مشخص شده توسط متریک ریمانی با هندسه اقلیدسی معمولی n بعدی، فراهم می آورد. تانسور ریچی بر روی هر خمینه شبه ریمانی به صورت اثری از تانسور خمش ریمان تعریف می شود. همانند خود متریک، تانسور ریچی نیز یک شکل متقارن دوخطی در فضای مماس خمینه است (Besse 1987, p. 43).[۱]

در نظریه نسبیت، تانسور ریچی بخشی از خمش فضازمان است که میزان تمایل ماده به واگرایی یا همگرایی در زمان را مشخص می کند( از طریق معادله ریچادوری). این خمش توسط معادلات میدان اینشتین به میزان کل ماده موجود در جهان مرتبط می گردد. اگر تانسور ریچی در معادله خلاء اینشتین صدق کند، خمینه یک خمینه اینشتین خواهد بود که بسیار مورد مطالعه قرار گرفته است(Besse 1987). در این اتصال، معادله جریان ریچی بر تحوّل یک متریک به متریک اینشتین حکمفرماست.

تعریف[ویرایش]

فرض کنید که (M,g) یک خمینه ریمانی n-بعدی باشد که مجهز به التصاق ِ لوی-چیویتای \nabla است. تانسور انحنای ریمان M ، تانسور (1,3) است که توسط :R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z در میدان برداری X,Y,Z تعریف می شود. فرض کنید که T_pM نشان دهنده فضای تانژانت M در نقطه دلخواه p باشد. برای هر جفت \xi, \eta\in T_pM از بردارهای تانژانت در p، تانسور ریچی \mathrm{Ric} (\xi , \eta ) در (\xi, \eta )، به عنوان اثر نگاشت خطی T_pM\to T_pM که از  :\zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi. به دست می آید، تعریف می شود.

در مختصات محلی ( با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین)، رابطه زیر برقرار است:

\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j

که در آن :R_{ij} = {R^k}_{ikj}.

برحسب تانسور انحنای ریمان و نمادهای کریستوفل :


R_{\alpha\beta} = {R^\rho}_{\alpha\rho\beta} =
\partial_{\rho}{\Gamma^\rho_{\beta\alpha}} - \partial_{\beta}\Gamma^\rho_{\rho\alpha}
+ \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\beta\alpha}
- \Gamma^\rho_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\alpha}
=2 \Gamma^{\rho}_{{\alpha[\beta,\rho]}} +
2 \Gamma^\rho_{\lambda [\rho} \Gamma^\lambda_{\beta]\alpha}
.

یادداشتها[ویرایش]

  1. اینگونه پنداشته می شود که خمینه التصاق لوی-چیویتای یکتای خود را دارد. تانسور ریچی برای یک التصاق ِ مُستَوی عمومی، نیازی نیست متقارن باشد.

منابع[ویرایش]