ترانهاده

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
ماتریس ترانهاده

در جبر خطی ترانهاده یک ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد AT (به شکل‌های دیگر A′، Atr یا tA نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است: [A]_{i \times j}=[A^T]_{j \times i} به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود.ترانهاده یک عدد همان عدد است.

مثال‌ها[ویرایش]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}.
  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}.
  • 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;

خواص ترانهاد[ویرایش]

برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند

  1. \left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,
  2. (\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,
  3. \left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
  4. ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر AT وارون‌پذیر باشد
  5. (c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
  6. \det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,
  7. ضرب داخلی دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},
    که در نمادگذاری اینشتینai bi نوشته می‌شود.
  8. (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
  9. اگر A یک ماتریس مربعی باشد ویژه‌مقدار این ماتریس برابر ویژه‌مقدار ماتریس ترانهاده آن است.

ماتریس‌های خاص[ویرایش]

ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد

\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}.\,

ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که :

\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \, &nbsp؛ که I ماتریس همانی است. GT = G.

ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود

\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}.\,

همیوغ ترانهاده ماتریس A، به شکل A*، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن.

\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]