ترانهاده

ماتریس ترانهاده

در جبر خطی ترانهاده یک ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد A^T (به شکل‌های دیگر A′، A^tr یا ^tA نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است: $[A]_{i \times j}=[A^T]_{j \times i}$ به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود.ترانهاده یک عدد همان عدد است.

مثال‌ها

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}.$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;$

خواص ترانهاد

برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند

1. $\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,$
2. $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,$
3. $\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$
4. ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر A^T وارون‌پذیر باشد
5. $(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$
6. $\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,$
7. ضرب داخلی‌ دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.

   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

   که در نمادگذاری اینشتینa_i bⁱ نوشته می‌شود.
8. $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,$
9. اگر A یک ماتریس مربعی باشد ویژه‌مقدار این ماتریس برابر ویژه‌مقدار ماتریس ترانهاده آن است.

ماتریس‌های خاص

ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد

$\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}.\,$

ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد‌ است که :

$\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \,$ &nbsp؛ که I ماتریس همانی است. G^T = G^-۱.

ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود

$\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}.\,$

همیوغ ترانهاده ماتریس A، به شکل A^*، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ‌ آن.

$\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}.$

جستارهای وابسته

• ماتریس وارون‌پذیر

پیوند به بیرون

• کلاس درس دانشگاه ام‌آی‌تی درباره جبر خطی
• ترانهاده، mathworld.wolfram.com
• ترانهاده، planetmath.org