نماد لوی-چیویتا

نماد لوی-چیویتا (به انگلیسی: Levi-Civita symbol)‏ یک شبه تانسور همسانگرد است که برای ساده سازی در محاسبات تانسوری بسیار مفید است. نامیده شده به نام ریاضیدان ایتالیایی تولیو لوی-چیویتا (Tullio Levi-Civita).

نمایش نماد لوی-چیویتا در سه بعد

تعریف

نماد لوی-چیویتا در سه بعد به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\ -1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i, \end{cases}$

همچنین این نماد را می‌توان از رابطه زیر بدست آورد:

$\varepsilon_{ijk} = -[(i-j)^2%3][(i-k)^2%3][(j-k)^2%3][(j-(i%3)-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}]$

که % نماد عملگر باقی‌مانده است.

کاربرد

از این نماد مفید برای ساده سازی عبارات طولانی و پیچیده استفاده می‌شود. به عنوان مثال در ضرب خارجی a و b داریم:

$\mathbf{a \times b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$

که با استفاده از قرارداد جمع‌زنی انیشتین به صورت زیر در می‌آید:

$\mathbf{a \times b} = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$

و یا اگر A یک ماتریس 3در3 باشد، دترمینان آن را به صورت خلاصه زیر می‌توان نمایش داد:

$\det A = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k} = \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}$

تعمیم

این نماد را برای ابعاد دیگر هم می‌توان تعریف کرد. به این صورت که برای $\varepsilon_{ijkl}$ اگر $ijkl...$ جایگشت زوجی از $(1,2,3,4,...)$ باشد برابر $+1$ و اگر جایگشت فردی از آن باشد برابر $-1$ است. به عبارت دیگر:

$\varepsilon_{ijk\ell\dots} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ is an even permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\ -1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ is an odd permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\ 0 & \mbox{if any two labels are the same} \end{matrix} \right.$

جستارهای وابسته

تانسور

خط تورفته_{متن کوچک}

• دلتای کرونکر

منابع

• جورج براون آرفکن. روشهای ریاضی در فیزیک. ترجمهٔ اعظم پورقاضی. مرکز نشر دانشگاهی. شابک ‎&#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲. 

• Weisstein, Eric W. "Permutation Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html