مشتق هموردا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

Covariant derivative

مشتق هموردا (کواریانت) تعمیم مشتق خطی از یک چند بردار در محاسبات تانسوری است. برای آنکه بتوانیم از یک چند بردار که در یک جهان چند بعدی قرار گرفته و مولفه هایش تغییر می کند در جهت یکی از ابعاد مشتق بگیریم نمی‌توانیم از مشتق معمولی استفاده کنیم و بایستی از مشتق کواریانت استفاده کنیم. برای میدان اسکالر \displaystyle \phi\, مشتق هموردا همانند مشتقات جزئی است

\displaystyle \phi_{;a}\equiv \partial_a \phi

اما برای میدان برداری (چند بردار) با شاخص بالا \lambda^a\, و با شاخص پایین \lambda_a\, مشتق هموردا به ترتیب چنین است

\lambda^a{}_{;b}\equiv \partial_b \lambda^a+\Gamma^a{}_{cb}\lambda^c
\lambda_{a;c}\equiv \partial_c \lambda_a-\Gamma^b{}_{a c}\lambda_b

همینطور برای تانسوری از مرتبه دو (ضرب دو عدد چند بردار) با شاخصهای بالا \tau^{a b}\, و با شاخصهای پایین \tau_{a b}\, به ترتیب داریم

\tau^{a b}{}_{;c}\equiv \partial_c \tau^{a b}+\Gamma^a{}_{d c}\tau^{d b}+\Gamma^b{}_{d c}\tau^{a d}
\tau_{a b ;c}\equiv \partial_c \tau_{a b}-\Gamma^d{}_{a c}\tau_{d b}-\Gamma^d{}_{b c}\tau_{a d}

و برای تانسور مرتبه دوم با شاخصهای بالا و پایین \tau^{a}{}_{b}\,

\tau^{a}{}_{b;c}\equiv \partial_c \tau^{a}{}_{b}+\Gamma^a{}_{d c}\tau^d{}_b-\Gamma^d{}_{b c}\tau^{a}{}_{d}

خواص[ویرایش]

از خواص مهم مشتق هموردا این است که اولاً \lambda_{a;bc}\neq\lambda_{a;cb}\, و ثانیاً

 \lambda_{a;bc}-\lambda_{a;cb}=R^d{}_{abc}\lambda_d
 \lambda^a{}_{;bc}-\lambda^a{}_{;cb}=-R^a{}_{dbc}\lambda^d
 \tau^{ab}{}_{;cd}-\tau^{ab}{}_{;dc}=-R^a{}_{ecd}\tau^{eb}-R^b{}_{ecd}\tau^{ae}

که R^d{}_{abc} \, به تانسور ریمان معتبر است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3. 
  • I.Kh. Sabitov (2001), "Covariant differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
  • Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall. 
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two). Publish or Perish, Inc.