تانسور

تانسور عنصری هندسی است که در ریاضی و فیزیک به منظور گسترش مفاهیم اسکالرها، بردارهای هندسی و ماتریس‌ها به ابعاد بالاتر معرفی می‌شوند. تانسورها اولین بار توسط تولیو لوی-چیویتا و گرگریو ریتچی-کورباسترو ابداع شدند. در واقع کار آن‌ها ادامه کارهای برنهارت ریمان و الوین برونو کریستوفل و دیگران در حساب دیفرانسیل مطلق بود.

تانسور آرایه‌ای است از اعداد که در یک جدول چیده شده‌اند. این جدول در حالت کلی می‌تواند به صورت$N \times M \times O \times P \times...$ باشد که حروف بزرگ هر کدام می‌توانند نمایندهٔ یک عدد طبیعی باشند و $\times$ نشان دهندهٔ عمل ضرب بین آنهاست. تانسور در ساده‌ترین حالت می‌تواند یک عضو داشته باشد که به آن تانسور، اسکالر گوییم. در حالت کمی پیشرفته تر تانسور می‌تواند به صورت بردار باشد. یعنی وقتی شما بردار $A$ را به صورت$(x,y,z)$ نشان می‌دهید در حقیقت یک تانسور دارید. در حالتی باز هم پیشرفته تر تانسور می‌تواند دو بعدی باشد (به صورت ماتریسی). یعنی مثلاً جدول ما $2 \times 2$ باشد یعنی دو سطر و دو ستون داشته باشد.

چنین تانسوری دارای ۴ عضو است. به طور کلی تانسورهای دو بعدی و بالاتر از دو بعد را با نام ماتریس هم می‌شناسند. ماتریس‌ها از آن جهت مورد استفاده قرار می‌گیرند که باعث ایجاد نظم بین داده‌های یک مسئله و دسته بندی اطلاعات آن می‌شوند.

تعریف فوق همراه با ساده‌سازی بسیار است. یک تعریف دقیق‌تر از این قرار است:

یک تانسور رتبه (۰,۱) و $N$-بعدی حقیقی مانند $T$ نگاشتی است خطی از $\mathbb{R}^N$ به $\mathbb{R}$ یعنی:

$T(ax + by) = aT(x) + bT(y), \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}^N \hbox{ and } a,b \in \mathbb{R}.$

اگر $\{e_n\}_{n=1}^{n=N}$ یک پایه برای $\mathbb{R}^N$ باشد، آنگاه به مجموعه $N$ عدد $T_n$ که از

$T(e_n) = T_n$

به دست می‌آیند مؤلفه‌های $T$ در پایه $\{e_n\}_{n=1}^{n=N}$ می‌گویند. می‌توان دید که مؤلفه‌های این تانسور، تحت تغییر پایه، رفتاری شبیه مؤلفه‌های یک بردار پادهموردا دارند. با یک نگاه کلی‌تر می‌توانیم $\mathbb{R}^N$ را با یک فضای برداری $N$-بعدی دلخواه چون $V$ عوض کنیم. در این صورت معمول است که مجموعهٔ همه چنین تانسورهایی را با $V^*$ نشان دهیم.

به طور مشابه یک تانسور رتبه (۰,۲) به عنوان یک نکاشت دو-خطی از $V \times V$ به $\mathbb{R}$ تعریف می‌شود:

$T(ax + by, z) = aT(x, z) + bT(y, z), \qquad \forall x,y,z \in V \hbox{ and } a,b \in \mathbb{R},$ $T(z, ax + by) = aT(z, x) + bT(z, y), \qquad \forall x,y,z \in V \hbox{ and } a,b \in \mathbb{R}.$

این بار به مجموعه $N^2$ عدد $T_{m,n}$ که با

$T(e_m,e_n) = T_{m,n}$

تعریف می‌شوند مؤلفه‌های تانسور $T$ گفته می‌شود ($\{e_n\}_{n=1}^{n=N}$ پایهٔ $V$ است). مجموعه تمام این تانسورها را با $V^* \otimes V^*$ نشان می‌دهیم و می‌نویسیم: $T \in V^* \otimes V^*$.

یک تانسور (۱,۰) چون $T$ عضوی است از فضای برداری $V$. مؤلفه‌های این تانسور با شاخص‌های بالا و بدین ترتیب تعریف می‌شوند:

$T = \sum_{n=1}^{n=N} T^n e_n$

یک تانسور (۲,۰) عضوی از فضای برداری $V \otimes V$ است که با پایه‌های $e_m \otimes e_n$ تولید می‌شود. بنابراین چنین تانسوری با

$T = \sum_{m,n=1}^{N} T^{mn} e_m \otimes e_n$

داده می‌شود و $T^{mn}$ مؤلفه‌های آن نامیده می‌شوند.

منابع

• Dubrovin, B. A., Fomenko, A. T., and Novikov, S. P. Modern Geometry - Methods and Applications, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 1992 ISBN 3-540-97663-9