انتگرال دیریکله

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات چند انتگرال‌های وجود دارد که به نام ریاضیدان آلمانی یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله با انتگرال دیریکله شناخته می‌شوند.

یکی از این انتگرال‌ها در زیر آمده است:

\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}

این رابطه با نمایش انتگرال فوریه قابل اثبات است. همچنین به سادگی با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال قابل ارزیابی است.

اثبات با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال[ویرایش]

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می‌کنیم، \alpha و \beta. رابطه

f(\alpha,\beta)=\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega

را در نظر بگیرید. سپس باید f(0,1) را بدست آورید.

با مشتق گیری نسبت به \alpha داریم:

\frac{df}{d\alpha}=\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega

با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega = \int_0^\infty  \frac{\partial}{\partial\alpha}e^{-\alpha\omega}\frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega = -\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \sin \beta\omega \,d\omega

انتگرال با استفاده از فرمول اولر بسیار ساده تر ساخته می‌شود

e^{i\beta\omega}=\cos \beta\omega + i\sin \beta\omega

در نتیجه

\Im e^{i\beta\omega}=\sin \beta\omega

که \Im نشان دهنده قسمت موهومی است. بازنویسی انتگرال به رابطه زیر منجر می‌شود:

-\Im\int_0^\infty e^{-\alpha\omega}e^{i\beta\omega}d\omega=\Im\frac{1}{-\alpha+i\beta}=\Im\frac{-\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}=\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}

بنابراین

\frac{df}{d\alpha}=\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}

با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از 0 تا \infty داریم

\int_0^\infty\frac{df}{d\alpha}d\alpha=\int_0^\infty\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}d\alpha
f(\infty,\beta)-f(0,\beta)=-\lim_{\alpha\rightarrow \infty}\arctan \frac{\alpha}{\beta} + \arctan 0
f(0,\beta)=\frac{\pi}{2}\textrm{sign}\beta

Note that f(\infty,\beta)=\lim_{\alpha\rightarrow \infty} \int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega}{d\omega}=0

لذا،

f(0,1)=\frac{\pi}{2}

در نتیجه:

\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}

و به طور کلی تر

\int_0^\infty \frac{\sin \beta\omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}\textrm{sign} \beta

پیوندهای مرتبط[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

  • {{wikipedia:MathWorld | urlname=DirichletIntegrals | title=اصول دیریکله}}