انتگرال دیریکله

در ریاضیات چند انتگرال های وجود دارد که به نام ریاضیدان آلمانی یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله با انتگرال دیریکله شناخته می‌شوند.

یکی از این انتگرال‌ها در زیر آمده است:

$\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}$

این رابطه با نمایش انتگرال فوریه قابل اثبات است. همچنین به سادگی با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال قابل ارزیابی است.

اثبات با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می کنیم، $\alpha$ و $\beta$. رابطه

$f(\alpha,\beta)=\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega$

را در نظر بگیرید. سپس باید $f(0,1)$ را بدست آورید.

با مشتق گیری نسبت به $\alpha$ داریم:

$\frac{df}{d\alpha}=\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega$

با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

$\frac{d}{d\alpha}\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial\alpha}e^{-\alpha\omega}\frac{\sin \beta\omega}{\omega} d\omega = -\int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \sin \beta\omega \,d\omega$

انتگرال با استفاده از فرمول اولر بسیار ساده تر ساخته می شود

$e^{i\beta\omega}=\cos \beta\omega + i\sin \beta\omega$

در نتیجه

$\Im e^{i\beta\omega}=\sin \beta\omega$

که $\Im$ نشان دهنده قسمت موهومی است. بازنویسی انتگرال به رابطه زیر منجر می شود:

$-\Im\int_0^\infty e^{-\alpha\omega}e^{i\beta\omega}d\omega=\Im\frac{1}{-\alpha+i\beta}=\Im\frac{-\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}=\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}$

بنابراین

$\frac{df}{d\alpha}=\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}$

با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از $0$ تا $\infty$ داریم

$\int_0^\infty\frac{df}{d\alpha}d\alpha=\int_0^\infty\frac{-\beta}{\alpha^2+\beta^2}d\alpha$

$f(\infty,\beta)-f(0,\beta)=-\lim_{\alpha\rightarrow \infty}\arctan \frac{\alpha}{\beta} + \arctan 0$

$f(0,\beta)=\frac{\pi}{2}\textrm{sign}\beta$

Note that $f(\infty,\beta)=\lim_{\alpha\rightarrow \infty} \int_0^\infty e^{-\alpha\omega} \frac{\sin \beta\omega}{\omega}{d\omega}=0$

لذا،

$f(0,1)=\frac{\pi}{2}$

در نتیجه:

$\int_0^\infty \frac{\sin \omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}$

و به طور کلی تر

$\int_0^\infty \frac{\sin \beta\omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}\textrm{sign} \beta$

پیوندهای مرتبط

• Dirichlet principle

پیوند به بیرون

• {{wikipedia:MathWorld | urlname=DirichletIntegrals | title=اصول دیریکله}}