در ریاضیات ، سری هندسی به مجموع (سری ) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
r
0
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,}
در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.
برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }
ویژگی‌ها در سری هندسی اگر
r
<
1
{\displaystyle r\;<1}
سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.
مجموع مجموع یک سری هندسی همگرا (
r
<
1
{\displaystyle r<1}
S
n
=
a
1
−
r
.
{\displaystyle S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.}
اثبات موقعی که
|
r
|
=
1
{\displaystyle |r|\;=\ 1}
a
+
a
+
a
+
a
+
.
.
.
.
{\displaystyle a+a+a+a+....}
مجموع این سری می‌شود:
S
n
=
(
n
+
1
)
a
{\displaystyle S_{n}=(n+1)a}
و
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
(
n
+
1
)
a
=
±
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(n+1)a=\pm \infty }
(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن
a
{\displaystyle a}
این واگرائی سری را نشان می‌دهد.
اکنون اگر
r
=
−
1
{\displaystyle r\;=\ -1}
a
−
a
+
a
−
a
+
.
.
.
.
{\displaystyle a-a+a-a+....}
بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:
a
,
0
,
a
,
0
,
a
,
.
.
.
{\displaystyle a,0,a,0,a,...}
که واگرا می‌باشد.
حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری
|
r
|
≠
1
{\displaystyle |r|\;\neq \ 1}
مجموع این سری می‌شود:
(١)
S
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
.
.
.
+
a
r
n
{\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n}}
هر دو طرف معادله را با
r
{\displaystyle r}
(٢)
r
S
n
=
a
r
+
a
r
2
+
.
.
.
+
a
r
n
+
a
r
n
+
1
{\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+...+ar^{n}+ar^{n+1}}
(٢) را از (١) کم می‌کنیم:
(٣)
S
n
−
r
S
n
=
a
−
a
r
n
+
1
{\displaystyle S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}}
یا:
(
1
−
r
)
S
n
=
a
−
a
r
n
+
1
{\displaystyle (1-r)S_{n}\;=\;a-ar^{n+1}}
از آنجائی که در وضعیت مورد نظر
|
r
|
≠
1
{\displaystyle |r|\;\neq \ 1}
S
n
=
a
−
a
r
n
+
1
1
−
r
=
a
1
−
r
(
1
−
r
n
+
1
)
{\displaystyle S_{n}\;=\;{\frac {a-ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(1-r^{n+1})}
اگر
r
<
1
{\displaystyle r<1}
l
i
m
n
→
∞
r
n
+
1
=
0
{\displaystyle lim_{n\to \infty }r^{n+1}=0}
lim
n
→
∞
S
n
=
a
1
−
r
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.}
مثال یک سری با قدر نسبت
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }
از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.
جستارهای وابسته
