واریانس: تفاوت میان نسخهها
بدون خلاصۀ ویرایش |
جز ویرایش بهوسیلهٔ ابرابزار: |
||
خط ۴: | خط ۴: | ||
'''واریانس''' یا '''وردایی''' عددی است که نشان میدهد چگونه یک سری داده حول [[مقدار میانگین]] پخش میشوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی <math>X</math> دارای توزیع <math>p(x)</math> است و متوسط توزیع جمعیت آن را با <math>\mu</math> نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین میشود: |
'''واریانس''' یا '''وردایی''' عددی است که نشان میدهد چگونه یک سری داده حول [[مقدار میانگین]] پخش میشوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی <math>X</math> دارای توزیع <math>p(x)</math> است و متوسط توزیع جمعیت آن را با <math>\mu</math> نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین میشود: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
<math>Var(X) = \sigma^{2} \equiv \left\langle (X-\mu)^{2} \right\rangle </math> |
<math>Var(X) = \sigma^{2} \equiv \left\langle (X-\mu)^{2} \right\rangle </math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای [[احتمال]] <math>p(x)</math> باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه میشود: |
حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای [[احتمال]] <math>p(x)</math> باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه میشود: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
<math>\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{N}p(x_{i})(x_{i} - \mu)^{2}</math> |
<math>\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{N}p(x_{i})(x_{i} - \mu)^{2}</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر دادهها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین میزنیم: |
اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر دادهها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین میزنیم: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
<math>S^{2}_{N}\equiv \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math> |
<math>S^{2}_{N}\equiv \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
در این رابطه <math>\overline{x}</math> [[میانگین]] ([[امید ریاضی]]) دادههاست که خود از رابطهٔ زیر حساب میشود: |
در این رابطه <math>\overline{x}</math> [[میانگین]] ([[امید ریاضی]]) دادههاست که خود از رابطهٔ زیر حساب میشود: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
:<math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}</math> |
:<math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شدهاستفاده میکنیم که بصورت زیر تعریف میگردد |
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شدهاستفاده میکنیم که بصورت زیر تعریف میگردد |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
<math>S^{2}_{N-1}\equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math> |
<math>S^{2}_{N-1}\equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
== تعریف == |
== تعریف == |
||
اگر <math>\mu= \operatorname{E}(X)</math>، [[امید ریاضی]] ([[میانگین]]) [[متغیر تصادفی]] X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با: |
اگر <math>\mu= \operatorname{E}(X)</math>، [[امید ریاضی]] ([[میانگین]]) [[متغیر تصادفی]] X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
:<math>\begin{align}\operatorname{Var}(X) |
:<math>\begin{align}\operatorname{Var}(X) |
||
&= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\&= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\ |
&= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\&= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\ |
||
&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2. |
&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2. |
||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
||
{{پایان}}برای به خاطر سپردن راحتتر این فرمول گفتهمیشود وردایی برابر است با «[[میانگین]] مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر تصادفی ''X'' را معمولاً با Var(''X''){{چر}} یا <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> یا به صورت سادهتر σ<sup>2</sup> (تلفظ میشود [[سیگما]]-دو) نمایش میدهند. |
|||
=== حالت گسسته === |
=== حالت گسسته === |
||
اگر <math>X</math>یک متغیر تصادفی با [[تابع جرم احتمال]] به این شکل باشد <math>x_1 \mapsto p_1, x_2 \mapsto p_2, \ldots, x_n \mapsto p_n</math> آنگاه واریانس آن به این شکل محاسبه میشود. |
اگر <math>X</math>یک متغیر تصادفی با [[تابع جرم احتمال]] به این شکل باشد <math>x_1 \mapsto p_1, x_2 \mapsto p_2, \ldots, x_n \mapsto p_n</math> آنگاه واریانس آن به این شکل محاسبه میشود. |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
: <math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2,</math> |
: <math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2,</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
عبارت پیشین با معادله پایین معادل است: |
عبارت پیشین با معادله پایین معادل است: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
: <math>\operatorname{Var}(X) = \left(\sum_{i=1}^n p_i x_i ^2\right) - \mu^2,</math> |
: <math>\operatorname{Var}(X) = \left(\sum_{i=1}^n p_i x_i ^2\right) - \mu^2,</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
در اینجا <math>\mu </math> [[امید ریاضی]] <math>X</math> است. |
در اینجا <math>\mu </math> [[امید ریاضی]] <math>X</math> است. |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
: <math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i x_i. </math> |
: <math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i x_i. </math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
واریانس <math>n</math>مقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود: |
واریانس <math>n</math>مقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2, </math> |
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2, </math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
در اینجا <math>\mu</math> میانگین <math>n</math> |
در اینجا <math>\mu</math> میانگین <math>n</math>دادهاست: |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
: <math>\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i .</math> |
: <math>\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i .</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
البته واریانس این <math>n</math> داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آنها هم |
البته واریانس این <math>n</math> داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آنها هم میشود به شکل پایین محاسبه کرد:<ref>{{cite conference|authors=Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng|date=June 2012|title=Some new deformation formulas about variance and covariance|conference=Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)|pages=987–992}}</ref> |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2 = \frac{1}{n^2}\sum_i \sum_{j>i} (x_i-x_j)^2. </math> |
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2 = \frac{1}{n^2}\sum_i \sum_{j>i} (x_i-x_j)^2. </math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
=== حالت پیوسته === |
=== حالت پیوسته === |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
||
\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int (x-\mu)^2 f(x) \, dx \\[4pt] |
\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int (x-\mu)^2 f(x) \, dx \\[4pt] |
||
خط ۷۶: | خط ۷۶: | ||
&= \int x^2 \,dF(x) - \mu^2, |
&= \int x^2 \,dF(x) - \mu^2, |
||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
و |
و |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
:<math>\mu = \int x \, f(x) \, dx\,, </math> |
:<math>\mu = \int x \, f(x) \, dx\,, </math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
== خواص == |
== خواص == |
||
خط ۸۸: | خط ۸۸: | ||
:<math>\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math> |
:<math>\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math> |
||
== |
== واژهشناسی == |
||
فرهنگستان زبان فارسی، '''وردیدن''' از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to varry برگزیده است و از این فعل مشتقات '''[[وردایی]]''' (variance)،'''وردش''' (variation)، '''وردا''' (variant)، [[هموردا]] (covariant)، [[هم وردایی]] (covariannce)، [[ناوردا]] (invariant)، [[ناوردایی]] (invariance)، [[پادوردا]] (contravariance) را برساخته است. |
فرهنگستان زبان فارسی، '''وردیدن''' از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to varry برگزیده است و از این فعل مشتقات '''[[وردایی]]''' (variance)،'''وردش''' (variation)، '''وردا''' (variant)، [[هموردا]] (covariant)، [[هم وردایی]] (covariannce)، [[ناوردا]] (invariant)، [[ناوردایی]] (invariance)، [[پادوردا]] (contravariance) را برساخته است. |
||
== تخمین وردایی یک تابع == |
== تخمین وردایی یک تابع == |
||
{{وسطچین}} |
|||
<center> |
|||
<math>\operatorname{Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname{E}\left[X\right])\right)^2\operatorname{Var}\left[X\right]</math> |
<math>\operatorname{Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname{E}\left[X\right])\right)^2\operatorname{Var}\left[X\right]</math> |
||
{{پایان}} |
|||
</center> |
|||
== جستارهای وابسته == |
== جستارهای وابسته == |
نسخهٔ ۶ ژانویهٔ ۲۰۱۹، ساعت ۰۸:۱۷
در نظریه احتمالات و آمار وردایی[۱] یا واریانس نوعی سنجش پراکندگی است.
مقدار وردایی با میانگینگیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه میشود. در مقایسه با میانگین میتوان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان میدهد، در حالی که وردایی مقیاسی است که نشان میدهد که دادهها حول میانگین چگونه پخش شدهاند. وردایی کمتر بدین معنا است که انتظار میرود که اگر نمونهای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای وردایی مربع یکای کمیت اولیه میباشد. ریشه دوم وردایی که انحراف معیار نامیده میشود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.
واریانس یا وردایی عددی است که نشان میدهد چگونه یک سری داده حول مقدار میانگین پخش میشوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی دارای توزیع است و متوسط توزیع جمعیت آن را با نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین میشود:
حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای احتمال باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه میشود:
اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر دادهها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین میزنیم:
در این رابطه میانگین (امید ریاضی) دادههاست که خود از رابطهٔ زیر حساب میشود:
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شدهاستفاده میکنیم که بصورت زیر تعریف میگردد
تعریف
اگر ، امید ریاضی (میانگین) متغیر تصادفی X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با:
برای به خاطر سپردن راحتتر این فرمول گفتهمیشود وردایی برابر است با «میانگین مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر تصادفی X را معمولاً با Var(X) یا یا به صورت سادهتر σ2 (تلفظ میشود سیگما-دو) نمایش میدهند.
حالت گسسته
اگر یک متغیر تصادفی با تابع جرم احتمال به این شکل باشد آنگاه واریانس آن به این شکل محاسبه میشود.
عبارت پیشین با معادله پایین معادل است:
در اینجا امید ریاضی است.
واریانس مقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود:
در اینجا میانگین دادهاست:
البته واریانس این داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آنها هم میشود به شکل پایین محاسبه کرد:[۲]
حالت پیوسته
و
خواص
واژهشناسی
فرهنگستان زبان فارسی، وردیدن از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to varry برگزیده است و از این فعل مشتقات وردایی (variance)،وردش (variation)، وردا (variant)، هموردا (covariant)، هم وردایی (covariannce)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.
تخمین وردایی یک تابع
جستارهای وابسته
منابع
page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
- ↑ مصوب فرهنگستان زبان و ادب فارسی، دفتر نخست تا چهارم، 1376 تا 85
- ↑ Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng (June 2012). Some new deformation formulas about variance and covariance. Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012). pp. 987–992.
{{cite conference}}
: نگهداری یادکرد:استفاده از پارامتر نویسندگان (link)
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Variance». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸.