تغییر متغیر اویلر
تغییر متغیر اویلر یک روش برای یافتن حاصل انتگرالهای به فرم زیر است:
که در آن یک تابع گویا از و است. در چنین مواردی انتگرال را میتوان با تغییر متغیر اویلر به دست آورد.[۱]
اولین تغییر متغیر اویلر[ویرایش]
اولین قانون تغییر متغیر اویلر هنگامی استفاده میشود که . در این تغییر متغیر از طریق برابری به دست میآید: و هم همچون بر حسب قابل بیان است.
در این تغییر متغیر انتخاب علامت مثبت یا منفی میتواند انتخاب شود.
دومین تغییر متغیر اویلر[ویرایش]
اگر باشد ما چنین برابریای را حل میکنیم: و چنین به دست خواهد آمد: مشابه مورد بالا نیز برحسب به دست خواهد آمد.
سومین تغییر متغیر اویلر[ویرایش]
اگر چندجملهای دارای ریشه های حقیقی و باشد میتوان با معادلهی زیر، و را بر حسب به دست آورد. که نتیجه خواهد داد:
مثالها[ویرایش]
نمونههایی برای اولین تغییر متغیر اویلر[ویرایش]
یک[ویرایش]
در انتگرال ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری حاصل زیر را داشته باشیم:
بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:
به ازای ، چنین فرمولهایی به دست میآید.
دو[ویرایش]
برای پیدا کردن پاسخ طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت: و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت: ؛
ها حذف خواهند شد و در پایان برابر با خواهد شد. را با مشتق گرفتن از دو سمت معادلهی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست میآوریم:
است و پس
منابع[ویرایش]
- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.