ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن

زمانی که رابطهٔ بین دو متغیر یکنوا باشد، اگرچه غیر خطی، ضریب همبستگی اسپیرمن ۱ است. ولی در این شرایط ضریب همبستگی پیرسون کامل ۱ نمی‌شود.

در آمار، ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن که با حرف یونانی ρ نشان داده می‌شود آماره‌ای ناپارامتری برای سنجش ضریب همبستگی بین دو متغیر تصادفی است. مقدار این ضریب نشاندهندهٔ قابلیت بیان یک متغیر به صورت تابعی یکنوا از متغیر دیگر است. همبستگی کامل پیرسون (۱+ یا ۱-) زمانی اتفاق می‌افتد که متغیری تابعی یکنوا از متغیر دیگر باشد.

ضریب همبستگی اسپیرمن به صورت ضریب همبستگی پیرسون بین داده‌های رتبه‌بندی شده تعریف می‌شود. به عنوان مثال، اگر n زوج داده به صورت $(X_{i},Y_{i})$ داده شده‌باشند، ابتدا رتبهٔ هر داده را به صورت $(x_{i},y_{i})$ حساب کرده و سپس ضریب همبستگی اسپیرمن را به صورت زیر حساب می‌کنیم:

$\rho ={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}$

به داده‌های تکراری مقدار میانگین رتبه‌ها را اختصاص می‌دهیم. جدول زیر مثالی از محاسبهٔ رتبه را نشان می‌دهد:

Variable $X_{i}$	Position in the ascending order	Rank $x_{i}$
0.8	1	1
1.2	2	${\frac {2+3}{2}}=2.5\$
1.2	3	${\frac {2+3}{2}}=2.5\$
2.3	4	4
18	5	5

منابع

• Wikipedia contributors, "Spearman's rank correlation coefficient," Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed February 14, 2014).