تغییر متغیر اویلر

تغییر متغیر اویلر یک روش برای یافتن حاصل انتگرال‌های به فرم زیر است:

${\displaystyle }$

که در آن ${\displaystyle }$ یک تابع گویا از ${\displaystyle }$ و ${\displaystyle }$ است. در چنین مواردی انتگرال را می‌توان با تغییر متغیر اویلر به دست آورد.

اولین تغییر متغیر اویلر

اولین قانون تغییر متغیر اویلر هنگامی استفاده می‌شود که $a>0$ . در این تغییر متغیر از طریق برابری ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t$ به دست می‌آید: $x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}$ و $\mathrm {d} x$ هم همچون $x$ بر حسب $t$ قابل بیان است.

در این تغییر متغیر انتخاب علامت مثبت یا منفی می‌تواند انتخاب شود.

دومین تغییر متغیر اویلر

اگر $c>0$ باشد ما چنین برابری‌ای را حل می‌کنیم: ${\begin{aligned}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.\end{aligned}}$ و $x$ چنین به دست خواهد آمد: $x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.$ مشابه مورد بالا $dx$ نیز برحسب $t$ به دست خواهد آمد.

سومین تغییر متغیر اویلر

اگر چندجمله‌ای $ax^{2}+bx+c$ دارای ریشه های حقیقی $\alpha$ و $\beta$ باشد می‌توان با معادله‌ی زیر، $x$ و $dx$ را بر حسب $t$ به دست آورد. ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t$ که نتیجه خواهد داد: $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}$

مثال‌ها

نمونه‌هایی برای اولین تغییر متغیر اویلر

یک

در انتگرال $\int \!{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری ${\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t$ حاصل زیر را داشته باشیم:

$x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \mathrm {d} x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\mathrm {d} t$

${\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}$

بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\mathrm {d} t$

$=\int \!{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C$

به ازای $c=\pm 1$، چنین فرمول‌هایی به دست می‌آید.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}={\mbox{arsinh}}(x)+C$

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}={\mbox{arcosh}}(x)+C\quad (x>1)$

دو

برای پیدا کردن پاسخ  $\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}$ طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت: ${\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t$ و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت:$x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}$ ؛

$x^{2}$ها حذف خواهند شد و در پایان $x$ برابر با $x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}$ خواهد شد.$dx$ را با مشتق گرفتن از دو سمت معادله‌ی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست می‌آوریم:

$dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt$$\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {{\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=tan^{-1}(t/2)+C$ است و $t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x$ پس$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=tan^{-1}({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}})+C$