مجموعه‌های فازی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مجموعه‌های فازی (به انگلیسی: fuzzy sets) از تعمیم نظریهٔ کلاسیک مجموعه‌ها حاصل می‌آید که در منطق فازی کاربرد دارد. تئوری این مجموعه‌ها توسط لطفعلی عسکرزاده (که در جوامع علمی به Lotfi A. Zadeh معروف است) ابداع گردید.[۱]

مجموعه فازی[ویرایش]

مجموعه فازی براساس تابع عضویت تعریف می‌شود که تصویر مجموعه فراگیر در بازه [صفر و یک] است.[۲]

هر یک از اعضا درجه عضویت دارند. مجموعه فازی از تعمیم و عمومیت دادن تئوری مجموعه‌های کلاسیک ایجاد شد. در تئوری مجموعه‌های کلاسیک، عضویت اعضا در یک مجموعه به صورت جملات باینری بر اساس شرط دودوئی تعیین می‌شوند که یک عضو یا به مجموعه تعلق دارد یا ندارد. در حالی که در تئوری فازی درجات نسبی عضویت اعضا در مجموعه مجاز است.

تابع و درجه عضویت[ویرایش]

تابع عضویت تابعی است از تصویر مجموعه کلی به Ù نسبت به بازه بسته [0،1]. مجموعه فازی A با تابع عضویت μA در U تعریف شده است.

عددی که تابع به هر عضو ارزش‌دهی می‌نماید درجه عضویت آن عضو در آن مجموعه را مشخص می‌سازد.اگر درجه عضویت یک عنصر از مجموعه برابر با صفر باشد آن عضو کاملاً از مجموعه خارج است واگر درجه عضویت یک عضو برابر با یک باشدآن عضو کاملاً در مجموعه قرار دارد می‌توان نتیجه گرفت مجموعه کلاسیک یک حالت مجموعه فازی یعنی زیرمجموعه مجموعه فازی است. و حال اگر درجه عضویت یک عضو مابین صفر و یک باشد این عدد بیانگر درجه عضویت تدریجی می‌باشد.

از لحاظ مفهومی در ضمن می‌تواند هر مجموعه بصورت تداخلی با درجه‌ای در مجموعه دیگر قرار گیرد. مثلاً در متغیر زبانی سن صفت جوانی را مد نظر بگیریم حال با توجه به انتخاب تابع عضویت مانند گاوسیان صفت میان سالی با درجه عضویت کم می تواند در مجموعه صفت جوانی قرار گیرد و صفت پیری نیز با درجه عضویت کمتری در مجموعه صفت جوانی ظاهر می شود.

عضو پشتیبان[ویرایش]

اعضای ازمجموعه اصلی اند برای آنها درجه عضویت غیر صفر براساس تابع عضویت تعیین می گردد درواقع حامی وپشتیبان مجموعه فازی اند.

آلفا برشها: فرض کنیم A یک مجموعه فازی باشد برای این مجموعه برشهای آلفا را تعریف می کنیم.(آلفا برش A برابر است با xهایی که مجموعه عضویت xها بزرگتر از آلفا باشد.)

برش آلفا[ویرایش]

مجموعه ای از تمام عناصر مربوط به دامنه ای از مجموعه اصلی با درجهٔ عضویت آلفا

کانون[ویرایش]

اعضای کانون اعضایی از مجموعه اصلی‌اند که برای آن‌ها درجه عضویت، براساس تابع عضویت برابر «یک» ارزشدهی می‌شود.

بلندی[ویرایش]

دامنه فوقانی درجات عضویت را گویند درحالت استاندارد برابر"یک" است.

مجموعه مساوی یا تراز[ویرایش]

مجموعه‌ای که درجات عضویت آن با درجات عضویت مجموعه مورد نظر برابر است.

زیرمجموعه[ویرایش]

مجموعه ای که تمامی درجات عضویت آن ازدرجات عضویت مجموعه موردنظر کمتراست.

مجموعه تهی فازی[ویرایش]

مجموعه مجموعه فازی Φ است که برای تمامی عناصر آن، ارزش تابع عضویت صفر باشد .

اعمال اساسی مجموعه‌ها[ویرایش]

  • اجتماع: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با ماکزیمم تابع عضویت مجموعه B,A و آن را به صورتμA∪B(x) نشان می‌دهیم.

μA∪B(x) = max(μA(x),μB(x))

  • اشتراک: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آنها برابر است با مینیمم تابع عضویت مجموعه B,A و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.

μA∩B(x) = min(μA(x),μB(x))

  • متمم: اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم مجموعهA حاصل کسر تمام اعضای A ازیک است و آن را با Ā یا μnot A(x) نشان می‌دهند.

μĀ(x) = 1-μA(x))

خواص اعمال مجموعه‌ای[ویرایش]

اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع، اشتراک، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند. بافرض μAو μB و μC به ترتیب توابع عضویت برای مجموعه‌های فازیAو BوC از مجموعه کل p باشد:

x = μA(p), y = μB(p) z = μC(p)

  • دارای خاصیت جابجایی‌اند.

خاصیت جابجایی اجتماع :A ∪ B = B ∪ A در مجموعه فازی Max(A,B)=Max(B,A) خاصیت جابجایی اشتراک A∩B = B∩A در مجموعه فازی Min(A,B)=MIN(B,A)

  • شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
  • توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C و یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC


max(x,max(y,z)) = max(max(x,y),z)

min(x,min(y,z)) = min(min(x,y),z)

  • متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است:

1 - (1 - x) = x

  • اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی نیست و اجتماع آنها باهم برابر مجموعه عناصر (S) نمی‌باشد.
  • قوانین دمورگان (´AUB)´ = (A´∩B) و یا (´A∩B)´ = (A´UB)

تفاوت مجموعه کلاسیک و مجموعه فازی[ویرایش]

دلیل اصلی تقسیم بندی مجموعه کلاسیک و مجموعه فازی با وجود تشابهات خاص، عدم تبعیت بعضی از قوانین است:

  • در تئوری مجموعه فازی توابع عضویت بکار می رود .
  • اشتراک مجموعه با متممش خالی نیست. ( نفی قانون «طرد شق ثالث» یا «استحالة ارتفاع نقیضین The law of excluded middle)
  • اجتماع مجموعه با متممش برابربایک مجموعه کل نیست. نفی قانون عدم تضاد contradiction

مثال‌ها[ویرایش]

خود لطفی‌زاده مثال خوبی از تعریف تابع عضویت در مجموعه فازی است. تعیین قومیت لطفی‌زاده تا حدی سخت است. پدر او یک ترک ایرانی (آذربایجانی) و مادرش روسی یهودی بود. پدر او یک روزنامه‌نگار مشغول به کار در باکو، جمهوری آذربایجان در اتحاد جماهیر شوروی سابق بود. او به عنوان یک خبرنگار برای روزنامه‌های ایران خدمت کرده‌است در حالی که خرید و فروش تجارت صادرات و واردات نیز می‌کرد. مادر او پزشک متخصص اطفال بود. لطفی‌زاده در سال ۱۹۲۱ در باکو متولد شده و تا سال ۱۹۳۱ در آن‌جا زندگی می‌کرد. در آن سال به همراه خانواده به تهران منتقل شده و دبیرستان و دانشگاه را در ایران تمام کرد. ولی فوق‌لیسانس و دکتری را در ایالات متحده به پایان رساند.

حتی نام لطفی در حال حاضر به درجه‌ای از عدم قطعیت موضوع دارد. هجی درست لطفی‌علی عسکرزاده است، اما اشتباه املائی LOFTI (از معکوس بودن F و T)، حتی در کتاب‌های نوشته شده در مورد منطق فازی نیز آورده شده‌است. درجستجوی گوگل نیز برای «lofti zadeh» و «lotfi zadeh»، به ترتیب ۲۵۴٬۰۰۰ و ۲۲۳٬۰۰۰ مورد پیدا می‌شود. با توجه به سیستم هوشمند موتور جستجوی گوگل احتمالاً مورد اولی شامل دومی نیز است.

در علوم طبیعی اکثر مواد مرکب‌اند و مواد خالص طبیعی کمتر یافت می‌شوند. پس مجموعه اجزای مواد طبیعی درجات عضویت فازی دارند. همچنین مرزها در نفشه‌های طبیعی، مانند زمین‌شناسی و خاک‌شناسی تدریجی‌ و فازی‌اند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [۱]
  2. منطق فازی چیست؟-بهروز نوعی پور [پیوند مرده] .