این فهرستی از قواعد استنتاج منطقی است. این قوانین مربوط به فرمول‌های ریاضی هستند.
قواعد استنتاج یا قوانین استنتاج، نحوهٔ تبدیل قوانین هستند که می‌توان برای پی بردن به یک نتیجه از یک فرض برای ایجاد یک استدلال استفاده کرد.
این مجموعه از قواعد یا قوانین را می‌توان برای به دست آوردن نتایج معتبر استفاده کرد. برای اثبات نیاز به استفاده از همهٔ قواعدِ فهرست نیست.
در نماد زیر، از درستی عبارت اول به درستی عبارت دوم پی می‌بریم
φ
⊢
ψ
{\displaystyle \varphi \vdash \psi \,\!}
[ ویرایش ] جمله‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال همچنین به‌عنوان حساب گزاره‌ای (منطق گزاره‌ای) شناخته شده‌است.
برهان آگهی خلف (یا نفی مقدمه )
φ
⊢
ψ
{\displaystyle \varphi \vdash \psi \,\!}
φ
⊢
¬
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}\,\!}
¬
φ
{\displaystyle \lnot \varphi \,\!}
برهان آگهی خلف (مربوط به قانون مستثنی میانه )
¬
φ
⊢
ψ
{\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi \,\!}
¬
φ
⊢
¬
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}\,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
Non contradiction (یا نفی حذف )
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
¬
φ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}\,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
دو نفی و حذف
¬
¬
φ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \lnot \varphi }}\,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
دو نفی مقدمه
φ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}\,\!}
¬
¬
φ
{\displaystyle \lnot \lnot \varphi \,\!}
قضیه کسر (و یا مشروط مقدمه )
φ
⊢
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}\,\!}
φ
→
ψ
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
وضع مقدم (یا مشروط حذف )
φ
→
ψ
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
φ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}\,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
نقیض انتزاع
φ
→
ψ
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
¬
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}\,\!}
¬
φ
{\displaystyle \lnot \varphi \,\!}
ضمیمه (یا رابطه مقدمه )
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!}
φ
∧
ψ
{\displaystyle \varphi \land \psi \,\!}
ساده‌سازی (یا حذف پیوستگی )
φ
∧
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}\,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
φ
∧
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}\,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
[ ویرایش ] علاوه بر این (و یا جدایی مقدمه )
φ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}\,\!}
φ
∨
ψ
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!}
φ
∨
ψ
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
مورد تجزیه و تحلیل (یا اثبات از طریق موارد یا استدلال با موارد )
φ
→
χ
{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi \,\!}
ψ
→
χ
{\displaystyle \psi \rightarrow \chi \,\!}
φ
∨
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}\,\!}
χ
{\displaystyle \chi \,\!}
قیاس فصلی
φ
∨
ψ
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
¬
φ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}\,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
φ
∨
ψ
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
¬
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}\,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
معضل سازنده
φ
→
χ
{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi \,\!}
ψ
→
ξ
{\displaystyle \psi \rightarrow \xi \,\!}
φ
∨
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}\,\!}
χ
∨
ξ
{\displaystyle \chi \lor \xi \,\!}
[ ویرایش ] معرفی دو شرطی
φ
→
ψ
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
ψ
→
φ
_
{\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}\,\!}
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
حذف دو شرطی
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
φ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}\,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}\,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
¬
φ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}\,\!}
¬
ψ
{\displaystyle \lnot \psi \,\!}
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
¬
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}\,\!}
¬
φ
{\displaystyle \lnot \varphi \,\!}
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
ψ
∨
φ
_
{\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}\,\!}
ψ
∧
φ
{\displaystyle \psi \land \varphi \,\!}
φ
↔
ψ
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
¬
ψ
∨
¬
φ
_
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}\,\!}
¬
ψ
∧
¬
φ
{\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi \,\!}
در زیر قوانین
φ
(
β
/
α
)
{\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )\,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
β
{\displaystyle \beta \,\!}
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
تعمیم جهانی (یا مقدمه جهانی)
φ
(
β
/
α
)
_
{\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}\,\!}
∀
α
φ
{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \,\!}
محدودیت 1:
β
{\displaystyle \beta }
φ
{\displaystyle \varphi }
محدودیت 2:
β
{\displaystyle \beta }
نمونه جهانی (یا حذف جهانی)
∀
α
φ
{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \!}
φ
(
β
/
α
)
¯
{\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}\!}
تعمیم وجودی (یا مقدمه وجودی)
φ
(
β
/
α
)
_
{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}\,\!}
∃
α
φ
{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}
نمونه وجودی (یا حذف وجودی)
∃
α
φ
{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}
φ
(
β
/
α
)
⊢
ψ
_
{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}\,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
محدودیت 1:
β
{\displaystyle \beta }
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
محدودیت ۲: هیچ اتفاق یا محدود از
β
{\displaystyle \beta \,\!}
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
محدودیت 3:
β
{\displaystyle \beta }
قوانین فوق را می‌توان در جدول زیر خلاصه کرد.[ ۱]
Rules of inference
Tautology
Name
p
p
→
q
∴
q
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}
(
(
p
∧
(
p
→
q
)
)
→
q
{\displaystyle ((p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q}
Modus ponens
¬
q
p
→
q
∴
¬
p
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}
(
(
¬
q
∧
(
p
→
q
)
)
→
¬
p
{\displaystyle ((\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p}
Modus tollens
(
p
∨
q
)
∨
r
∴
p
∨
(
q
∨
r
)
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\vee r\\\therefore {\overline {p\vee (q\vee r)}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
∨
q
)
∨
r
)
→
(
p
∨
(
q
∨
r
)
)
{\displaystyle ((p\vee q)\vee r)\rightarrow (p\vee (q\vee r))}
Associative
p
∧
q
∴
q
∧
p
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {q\wedge p}}\\\end{aligned}}}
(
p
∧
q
)
→
(
q
∧
p
)
{\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)}
Commutative
p
→
q
q
→
p
∴
p
↔
q
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
→
q
)
∧
(
q
→
p
)
)
→
(
p
↔
q
)
{\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (\ p\leftrightarrow q)}
Law of biconditional propositions
(
p
∧
q
)
→
r
∴
p
→
(
q
→
r
)
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}(p\wedge q)\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow (q\rightarrow r)}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
∧
q
)
→
r
)
→
(
p
→
(
q
→
r
)
)
{\displaystyle ((p\wedge q)\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r))}
Exportation
p
→
q
∴
¬
q
→
¬
p
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg q\rightarrow \neg p}}\\\end{aligned}}}
(
p
→
q
)
→
(
¬
q
→
¬
p
)
{\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)}
Transposition or contraposition law
p
→
q
q
→
r
∴
p
→
r
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
→
q
)
∧
(
q
→
r
)
)
→
(
p
→
r
)
{\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)}
Hypothetical syllogism
p
→
q
∴
¬
p
∨
q
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\vee q}}\\\end{aligned}}}
(
p
→
q
)
→
(
¬
p
∨
q
)
{\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg p\vee q)}
Material implication
(
p
∨
q
)
∧
r
∴
(
p
∧
r
)
∨
(
q
∧
r
)
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\wedge r\\\therefore {\overline {(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
∨
q
)
∧
r
)
→
(
(
p
∧
r
)
∨
(
q
∧
r
)
)
{\displaystyle ((p\vee q)\wedge r)\rightarrow ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))}
Distributive
p
→
q
∴
p
→
(
p
∧
q
)
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}}
(
p
→
q
)
→
(
p
→
(
p
∧
q
)
)
{\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (p\rightarrow (p\wedge q))}
Absorption
p
∨
q
¬
p
∴
q
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}
(
(
p
∨
q
)
∧
¬
p
)
→
q
{\displaystyle ((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q}
Disjunctive syllogism
p
∴
p
∨
q
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}}
p
→
(
p
∨
q
)
{\displaystyle p\rightarrow (p\vee q)}
Addition
p
∧
q
∴
p
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}
(
p
∧
q
)
→
p
{\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow p}
Simplification
p
q
∴
p
∧
q
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
)
∧
(
q
)
)
→
(
p
∧
q
)
{\displaystyle ((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)}
Conjunction
p
∴
¬
¬
p
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {\neg \neg p}}\\\end{aligned}}}
p
→
(
¬
¬
p
)
{\displaystyle p\rightarrow (\neg \neg p)}
Double negation
p
∨
p
∴
p
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}
(
p
∨
p
)
→
p
{\displaystyle (p\vee p)\rightarrow p}
Disjunctive simplification
p
∨
q
¬
p
∨
r
∴
q
∨
r
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}}
(
(
p
∨
q
)
∧
(
¬
p
∨
r
)
)
→
(
q
∨
r
)
{\displaystyle ((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)}
Resolution
همه قوانین از عملگرهای منطقی استفاده می‌کنند. یک جدول کامل از عملگرهای منطقی با جدول درستی نشان داده شده که تعریفی از همهٔ متغیرهای بولی (p با q )است:
p
q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
که در آن T = درست و F = نادرست و ستون هستند عملگرهای منطقی: 0 false تناقض ; ۱ کار نه منطقی و نه ; ۲ زن صحبت nonimplication; 3 با p با نفی ; ۴ با مواد nonimplication ; 5 با q نفی؛ ۶ با XORهای منحصر به فرد جدایی ; 7 NAND سه منطقی NAND; 8 و منطقی رابطه ; ۹ با نقیض یای انحصاری با اگر و تنها اگر با منطقی biconditional ; 10 با پرسش های طرح تابع؛ ۱۱ اگر/پس منطقی مفهوم ; ۱۲ با p پروجکشن تابع؛ ۱۳ پس از آن/اگر صحبت مفهوم ; ۱۴ یا منطقی جدایی ; ۱۵ با درست است گو .
هر منطق اپراتور را می‌توان در ادعا در مورد متغیرها و عملیات نشان از قانون اساسی استنباط است. نمونه:
ستون-۱۴ اپراتور (یا) نشان می‌دهد علاوه بر این قانون : زمانی که p =T (فرضیه انتخاب دو خط اول جدول) ما (در ستون-۱۴) که p ∨q =T.
ما همچنین می‌توانید ببینید که با همان فرض یکی دیگر از نتایج معتبر هستند: ستون ۱۲, ۱۴ و ۱۵ در حال T.
ستون-۸ اپراتور (و) نشان می‌دهد، ساده‌سازی قانون : زمانی که p ∧q =T (خط اول جدول) ما می‌بینیم که p =T.
با این فرض ما نیز نتیجه‌گیری کرد که q =T, p ∨q =T، به عنوان نشان داد توسط ستون ۹–۱۵.
ستون-۱۱ اپراتور (اگر/پس از آن) نشان می‌دهد Modus ponens قانون : زمانی که p →q =T و p =T فقط یک خط از حقیقت در جدول () صدق این دو شرایط. در این خط q نیز صادق است؛ بنابراین هر زمان که p → q درست است و p درست است و q نیز باید درست باشد. ماشین خوبی آموزش دیده و با مردم با استفاده از این نگاه در جدول رویکرد به فراموش پایه استنتاج و برای بررسی اگر دیگر استنتاج (در همان محل) می‌توان به دست آمده.
اجازه دهید ما در نظر گرفتن مفروضات زیر: "اگر باران امروز، پس از آن ما نمی‌خواهد در یک قایق رانی امروز. اگر ما در یک قایق رانی سفر امروز، پس از آن ما را بر روی یک قایق رانی سفر فردا؛ بنابراین (ریاضی نماد برای "بنابراین" است
∴
{\displaystyle \therefore }
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
اجازه دهید ما در نظر پیچیده‌تر مجموعه‌ای از مفروضات: "آن است نه آفتابی امروز و آن را سردتر از دیروز". "ما را به شنا کردن تنها در صورتی از آن آفتابی است" "اگر ما فراموش نمی شنا و سپس ما یک کباب پز" و "اگر ما یک کباب پز، پس از آن ما خواهد بود با غروب آفتاب" منجر به نتیجه‌گیری "ما خواهد بود با غروب آفتاب است."
اثبات توسط قوانین استنتاج: اجازه بدهید
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
¬
p
∧
q
,
r
→
p
,
¬
r
→
s
{\displaystyle \neg p\wedge q,r\rightarrow p,\neg r\rightarrow s}
s
→
t
{\displaystyle s\rightarrow t}
t
{\displaystyle t}
گام
دلیل
1.
¬
p
∧
q
{\displaystyle \neg p\wedge q}
فرضیه
2.
¬
p
{\displaystyle \neg p}
ساده‌سازی با استفاده از گام ۱
3.
r
→
p
{\displaystyle r\rightarrow p}
فرضیه
4.
¬
r
{\displaystyle \neg r}
Modus tollens با استفاده از مرحله ۲ و ۳
5.
¬
r
→
s
{\displaystyle \neg r\rightarrow s}
فرضیه
6.
s
{\displaystyle s}
Modus ponens با استفاده از مرحله ۴ و ۵
7.
s
→
t
{\displaystyle s\rightarrow t}
فرضیه
8.
t
{\displaystyle t}
Modus ponens با استفاده از گام ۶ و ۷
↑ Kenneth H. Rosen: Discrete Mathematics and its Applications , Fifth Edition, p. 58.
تاریخ مقالات اصلی مفاهیم منطق
مجادلهها افراد اصلی فهرستها
