اصل موضوع هم‌مصداقی

اصل موضوع هم‌مصداقی یا اصل موضوع گسترش یا اصل موضوع گستردگی (Axiom of Extent), اصلی است که در بسیاری از اشکال نظریه مجموعه‌ها مانند نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل، استفاده می‌شود. که به نظریهٔ اصل موضوعی مجموعه‌ها تعلق داشته، و در شاخه‌هایی از منطق، ریاضیات، و علوم کامپیوتر مورد استفاده قرار می‌گیرد. این اصل، تعریف می‌کند که یک مجموعه چیست. به بیان غیررسمی، این اصل موضوع به این معنی است که دو مجموعه A و B برابر هستند اگر و تنها اگر A و B اعضای یکسانی داشته باشند.

مقدمه

اصطلاح اصل موضوع هم‌مصداقی یک اصل از نظریه مجموعه است که توسط ریچارد ددکیند در سال ۱۸۸۸ فرموله شده است، و تنها بیان می‌کند که دو کلاس یا مجموعه یکسان هستند اگر و فقط اگر شامل اعضای یکسان باشند. از آنجایی که ارنست زرملو اصل موضوع هم‌مصداقی را از ریچارد ددکیند گرفته است و به عنوان اولین اصل موضوع مجموعه موضوعی زرملو قرارداده است که سایر اصل موضوعات مجموعه زرملو-فرانکل از آن نشأت می‌گیرند. ^{احتمال خلط ترجمه گسترش وجود دارد. در حالی که هیج موضوعیت گسترش چیزی از آن بر نمی‌آید.}

در منطق سنتی و کلاسیک مفهوم مصداق یا مصداقیت به موضوعی اشاره می‌شود که شامل بعد مفهومی برای کلیت یک چیز است یا اصطلاحات اغلب به عنوان پیش فرض‌های کلی برای پوشش تمام موضوع به کار می‌رود.

یکی از مفاهیم اصلی در نظریهٔ مجموعه‌ها که در بررسی‌های کاملاً اصل موضوعی از جمله عمده‌ترین مفاهیم اولیه و تعریف نشده محسوب می‌شود مفهوم تعلق یا عضویت است. اگر A یک مجموعه باشد و x متعلق A باشد (x عنصر A است یا A شامل x است) می‌نویسیم x ∈ A. نماد نماد عضویت است و برگرفته از حرف یونانی ε (اپسیلون) است و توسط پئانو مورد استفاده قرار گرفته شده است.

یکی از روابط مهم میان مجموعه‌ها که تا حدی مقدماتی تر از تعلق است، تساوی دو مجموعه است. اگر دو مجموعه A و B باشند می‌نویسیم A = B و در غیر این صورت می‌نویسیم A ≠ B.

• حال این سؤال پیش می‌آید که چه هنگام دو مجموعه را مساوی می‌گوییم؟

برای پاسخ به این سؤال اصل موضوعی بنا می‌کنیم که به درستی رابطه بین تساوی و تعلق را در مجموعه‌ها نشان می‌دهد.

اصل موضوع «گسترش» (extensionality) ریشه در منطق دارد. یک تعریف قصدی (intentional definition)T شرایط لازم و کافی برای اطلاق یک اصطلاح به یک شیء را توصیف می‌کند. به عنوان مثال: «یک عدد زوج عددی صحیح است که بر ۲ بخش‌پذیر باشد.»

در مقابل، یک تعریف مصداقی (extensional definition) تمام اشیایی را که اصطلاحی به آن‌ها اطلاق می‌شود، فهرست می‌کند. به عنوان مثال: «یک عدد زوج هر یک از اعداد صحیح زیر است: ۰، ۲، ۴، ۶، ۸ و…، ۲-، ۴-، ۶-، ۸- و…»

در منطق، «مصداق» (extension) یک محمول یعنی مجموعه‌ای از تمام چیزهایی است که محمول برای آن‌ها صحیح است.

اصطلاح منطقی «مصداق» در سال ۱۸۹۳ وارد نظریه مجموعه‌ها شد. گوتلوب فرگه تلاش کرد تا این ایده از «مصداق» را به‌طور رسمی در کتاب خود «مبانی قوانین حساب» (Grundgesetze der Arithmetik) به کار ببرد، جایی که اگر F یک محمول باشد، «مصداق» (Umfang) آن، εF، مجموعه تمام اشیایی است که F را برآورده می‌کنند. برای مثال، اگر (F(x برابر با «x یک عدد زوج است» باشد، آنگاه εF مجموعه {... ,۴-,۲-,۰٬۲٬۴,...} خواهد بود. او در اثر خود، قانون اساسی بدنام V، آن را این گونه تعریف کرد:

$$\varepsilon F=\varepsilon G\equiv \forall x(F(x)\equiv G(x))$$

با این تعریف که اگر دو محمول دارای مصادیق یکسانی باشند (یعنی توسط یک مجموعه از اشیاء ارضاء شوند)، آنگاه از نظر منطقی معادل هستند. با این حال، بعداً مشخص شد که این اصل به تناقض راسل منجر می‌شود. اولین بیان صریح اصل موضوع مدرن گسترش در سال ۱۹۰۸ توسط ارنست زرملو در مقاله‌ای دربارهٔ قضیه خوش‌ترتیبی ارائه شد، جایی که او اولین نظریه مجموعه‌های اصل موضوعی، که اکنون نظریه مجموعه‌های زرملو نامیده می‌شود، را معرفی کرد که اساس نظریه‌های مجموعه‌های مدرن شد. اصطلاح خاصی که زرملو برای «گسترش» به کار برد، «Bestimmtheit» بود. اصطلاح خاص انگلیسی «extensionality» تنها در دهه‌های ۱۹۲۰ و ۱۹۳۰ در متون ریاضی و منطقی، به‌ویژه با صوری‌سازی منطق و نظریه مجموعه‌ها توسط افرادی مانند آلفرد تارسکی و جان فون نویمان رایج شد.

اصل موضوع هم‌مصداقی

مطابق اصل موضوع هم‌مصداقی

$\forall A\forall B:(A=B\iff \forall x(x\in A\iff x\in B))$

به عبارت دیگر این اصل بیان می‌کند، دو مجموعه با هم برابرند اگر و فقط اگر دارای عناصر یکسان باشند.

این اصل نشان می‌دهد هر مجموعه با مصداقیت خود (اعضای خود) دقیقاً مشخص می‌شود. همچنین با توجه به مفهوم زیرمجموعه می‌توان اصل موضوع هم‌مصداقی را به گونه‌ای دیگر فرمول‌بندی نمود.

می‌دانیم که اگر مجموعه A زیرمجموعه، مجموعه B باشد می‌نویسیم A ⊆ B و این بدان معنی است که هر عضو A، متعلق به B نیز می‌باشد. حال اگر برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داشته باشیم A ⊆ B و B ⊆ A آنگاه بدیهی است که طبق تعریف هر عضو A در B و هر عضو B در A موجود است و لذا اعضای A و B یکسان هستند. پس:

دو مجموعه باهم مساوی‌اند اگر و فقط اگر هر یک زیر مجموعه دیگری باشد. به عبارت دیگر اگر A و B دو مجموعه باشند A = B اگر و فقط اگر A ⊆ B و B ⊆ A

پس اصل موضوع هم‌مصداقی به ما کمک می‌کند که بدانیم چه موقع دو مجموعه با هم برابرند. با توجه به این اصل همواره اثبات تساوی دو مجموعه به دو بخش تقسیم می‌شود که باید در هر قسمت نشان دهیم هر یک از مجموعه‌ها زیرمجموعه دیگری است.

جستارهای وابسته

• اصل موضوع تصریح
• اصل موضوع زوج سازی
• اصل موضوع مجموعه تهی
• اصل موضوع اجتماع
• اصل موضوع مجموعه توانی
• اصل موضوع بینهایت
• اصل موضوع انتخاب
• اصل موضوع جایگزینی
• نظریه مجموعه‌ها
• مجموعه
• نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها
• نظریه طبیعی مجموعه‌ها

منابع

• پل ریچارد هالموس (۱۳۷۳)، نظریه طبیعی مجموعه‌ها، ترجمهٔ عبدالحمید دادالله، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۰۵۲-۸
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Axiom of extension». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۳ اوت ۲۰۰۷.

پیوند به بیرون

• گزارشی از سخنرانی دکتر ضیاء موحد دربارهٔ فلسفه تحلیلی و پدیدارشناسی، روزنامهٔ صبح ایران، سال دهم - شمارهٔ ۲۷۵۸