جدول ارزش

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در منطق، جدول ارزش یا جدول صحت یا جدول درستی (به انگلیسی: Truth table) به جدولی اطلاق می‌شود، که در آن درستی و نادرستی گزاره‌ها درج گردد. منظور از درستی یا صدق در هر گزاره، مطابقت آن با واقع؛ و منظور از نادرستی یا کذب، عدم مطابقت آن با واقع است. هر گزارۀ درست در این جدول‌ها با «د» یا «T» و هر گزارۀ غلط با «ن» یا «F» نشان داده می‌شود.

عملگرهای یگانی (تک ورودی)[ویرایش]

همانی[ویرایش]

عملگر همانی ورودی را بدون تغییر به خروجی می‌برد.

عملگر همانی
p p
د د
ن ن

نقیض[ویرایش]

نقیض، عملگری است که هرگاه قضیه‌ای (گزاره‌ای) صادق و درست باشد، آن را به قضیه‌ای کاذب و نادرست تبدیل خواهد کرد. معمولاً نقیض گزارهٔ p را با عبارت «p~» یا «p¬» نشان می‌دهند که خوانده می‌شود: «نه p» یا «چنین نیست که p».

تناقض منطقی
K Q
د ن
ن د

عملگرهای دودویی[ویرایش]

جدول درستی برای تمام توابع دودویی[ویرایش]

در اینجا جدول عملگرهای دودویی برای 16 تابع ممکن آمده‌است.

P Q F NOR Xq XOR NAND AND XNOR q IF/Then p Then/IF OR T
د د ن ن ن ن ن ن ن ن د د د د د د د د
د ن ن ن ن ن د د د د ن ن ن ن د د د د
ن د ن ن د د ن ن د د ن ن د د ن ن د د
ن ن ن د ن د ن د ن د ن د ن د ن د ن د

کلید:

نام عملگر
0 Opq F false تناقض
1 Xpq NOR نقیض فصلی
2 Mpq Xq Converse nonimplication
3 Fpq Np نقیض
4 Lpq Xp Material nonimplication
5 Gpq Nq نقیض
6 Jpq XOR ترکیب فصلی ضمنی
7 Dpq NAND نقیض عطفی
8 Kpq AND ترکیب عطفی
9 Epq XNOR اگر و تنها اگر نقیض فصلی ضمنی
10 Hpq q Projection function
11 Cpq XNp if/then ترکیب شرطی
12 Ipq p Projection function
13 Bpq XNq then/if ترکیب دوشرطی
14 Apq OR ترکیب فصلی
15 Vpq T true راستگو

ترکیب عطفی (AND)[ویرایش]

عملگری است که در آن دو قضیه به وسیلهٔ حرف عطف «و» باهم ترکیب می‌شوند. قضیهٔ حاصل از ترکیب عطفی درست خواهد بود؛ اگر و فقط اگر هر دوی قضایای ساده تشکیل‌دهندهٔ آن درست باشند. ترکیب عطفی p و q چنین نوشته می‌شود «p ∧ q»

ترکیب عطفی
p q p ∧ q
د د د
د ن ن
ن د ن
ن ن ن

q و p اگر هر دو درست باشند، ترکیب عطفی p ∧ q درست است؛ اگر یکی از قضایای p و q یا هر دو نادرست باشند، آنگاه ترکیب عطفی p ∧ q نادرست است.

ترکیب فصلی (OR)[ویرایش]

هرگاه دو قضیهٔ حملی ساده را با حرف «یا» ترکیب کنیم، قضیهٔ مرکب تشکیل شده را ترکیب فصلی می‌نامند. تنها وقتی قضیهٔ حاصل از ترکیب فصلی، نادرست خواهد بود که هر دو قضیهٔ تشکیل‌دهنده آن نادرست باشد. ترکیب فصلی را به‌صورت « p ∨ q» یا « p || q» یا « p + q» نشان می‌دهند، و خوانده می‌شود: «p یا q».

ترکیب فصلی
p q p ∨ q
د د د
د ن د
ن د د
ن ن ن

ترکیب شرطی (IF)[ویرایش]

در ترکیب شرطی به صدق قضیۀ دوم در فرض صدق قضیۀ اول و کذب قضیۀ دوم حکم می‌شود. در ترکیب شرطی، قضیۀ اول را مقدم و قضیۀ دوم را تالی می‌گویند. ترکیب شرطی به‌صورت «p → q» یا «p ⇒ q» نوشته می‌شود و خوانده می‌شود «اگر p آنگاه q» یا «p ایجاب می‌کند q را» یا «p نتیجه می‌دهد q را».

ترکیب شرطی
p q p → q
د د د
د ن ن
ن د د
ن ن د

ترکیب دو شرطی (IF AND ONLY IF)[ویرایش]

ترکیب دوشرطی برابری منطقی است و از دو ترکیب شرطی تشکیل می‌شود، که مقدم و تالی یکی از آن‌ها، به ترتیب مقدم و تالی دیگری باشد. ارزش ترکیب دوشرطی درست خواهد بود، اگر و فقط اگر، هر دو قضیه تشکیل‌دهنده ترکیب دوشرطی صادق یا کاذب باشند. ترکیب دوشرطی نوشته می‌شود: p ↔ q یا p ≡ q و خوانده می‌شود: «اگر و فقط اگر p آنگاه q» یا «q شرط لازم و کافی است برای p».

ترکیب دوشرطی
p q p ≡ q
د د د
د ن ن
ن د ن
ن ن د

ترکیب فصلی ضمنی (XOR)[ویرایش]

در ترکیب فصلی ضمنی، ارزش دو گزاره در این ترکیب درست خواهد بود، اگر و فقط اگر یکی از اجزای آن درست باشد، و نه هر دوی آن. ترکیب فصلی ضمنی را با علامت p ⊕ q نشان می‌دهند.

ترکیب فصلی ضمنی
p q p ⊕ q
د د ن
د ن د
ن د د
ن ن ن

عملگر NAND[ویرایش]

این عملگر دو عمل‌وند دارد و فقط در حالتی نادرست است که هر دو عمل‌وند درست باشند. آن را با ↑ نشان می‌دهند.

عملگر NAND
p q pq
د د ن
د ن د
ن د د
ن ن د

این عملگر هم ارز با (p ∧ q)¬ و (p) ∨ (¬q¬) است.

p q p ∧ q (p ∧ q (p) ∨ (¬q¬)
د د د ن ن ن ن
د ن ن د ن د د
ن د ن د د ن د
ن ن ن د د د د

عملگر NOR[ویرایش]

عملگر NOR دو عمل‌وند دارد و فقط در حالتی درست است که هر دو عمل‌وند نادرست باشند. آن را با ↓ نشان می‌دهند.

عملگر NOR
p q pq
د د ن
د ن ن
ن د ن
ن ن د

این عملگر با (p ∨ q)¬ و (p) ∧ (¬q¬) هم‌ارز است.

p q p ∨ q (p ∨ q (p) ∧ (¬q¬)
د د د ن ن ن ن
د ن د ن ن د ن
ن د د ن د ن ن
ن ن ن د د د د

کاربرهای جدول درستی[ویرایش]

از جدول درستی میتوان برای اثبات روابط منطقی استفاده کرد. مثلاً :

(pq) = (¬pq)
p q p pq
د د ن د د
د ن ن ن ن
ن د د د د
ن ن د د د

جدول درستی برای توابع پرکاربرد[ویرایش]

در زیر جدول درستی برای 6 تابع پرکاربرد آمده‌است.

د د د د ن د د د د
د ن ن د د ن ن د ن
ن د ن د د ن د ن ن
ن ن ن ن ن د د د د

کاربرد جدول درستی در مدارهای منطقی[ویرایش]

در مدارهای منطقی از جدول درستی استفاده می‌کنند تا ارتباط ورودی و خروجی‌ها را به‌طور خلاصه و بدون استفاده از گیت‌ها و کد نشان دهند. برای مثال، جدول درستی برای جمع دو عدد باینری یک بیتی در زیر آمده‌است:

A B | C R
1 1 | 1 0
1 0 | 0 1
0 1 | 0 1
0 0 | 0 0

where

A = عملوند اول
B = عملوند دوم
C = نقلی  (Carry)
R = جواب 

توجه کنید که این جدول توابع لازم برای پیاده‌سازی را نشان نمی‌دهد و فقط ارتباط ورودی و خروجی را مشخص می‌کند.

در این حالت می‌توان آن را فقط برای ورودی‌های ساده و خروجی مانند 1 و 0 استفاده کرد و با افزایش تعداد ورودی و خروجی، اندازۀ جدول افزایش می‌یابد.

مثال بالا را یک نیم جمع‌کننده می‌نامند. یک تمام جمع‌کننده علاوه بر ورودی‌های بالا، یک نقلی ورودی C* نیز دارد. جدول درستی آن به‌صورت زیر است:

A B C* | C R
0 0 0  | 0 0
0 1 0  | 0 1
1 0 0  | 0 1
1 1 0  | 1 0
0 0 1  | 0 1
0 1 1  | 1 0
1 0 1  | 1 0
1 1 1  | 1 1

C* = زقم نقلی وروردی 

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]