اصل انتخاب شمارا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

قضیه‌ای از تئوری مجموعه‌هاست که بیان می‌کند "هر مجموعه شمارا از مجموعه غیر تهی باید تابع انتخاب داشته باشد." به عنوان مثال، تابع A تابعی با دامنه N را فرض می‌کنیم (N مجموعه اعداد طبیعی) است، به طوری که (A(n یک مجموعه غیر تهی برای هر n ∈ N است، پس تابع f با دامنه ی N وجود دارد به طوری که به ازای هر n ∈ N:

f(n) ∈ A

موارد استفاده

اگر X بی‌نهایت باشد، برای هر عدد طبیعی N، داریم An بطوریکه An مجموعه‌ای از تمام زیر مجموعه‌های به صورت X با 2n می‌باشد. اولین کاربرد از ACω منجر به دنبالهٔ (... ,Bn: n=۰٬۱,۲٬۳) که در آن هر Bn یک زیر مجموعه از X با عوامل 2n است.

مجموعه Bn لزوماً گسسته است، پس می‌توانیم تعریف به صورت زیر تعریف کنیم:

C0 = B0
Cn= تفاوت بین Bn تمامی اجتماع‌های Cj در حالی که j<n.

روشن است هر مجموعه Cn انتخاب حداقل ۱ و حداکثر 2n داشته و نیز مجموعه‌های Cn دو به دو گسسته هستند.

کاربرد دوم ACω منجر به دنبالهٔ (cn: n=۰٬۱,۲,...) به طوری که cnCn. بنابراین تمام Cnها کاملاً متفاوت هستند و و X شامل مجموعه‌ای شماراست.

منابع