مثلث خیام

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از مثلث خیام-پاسکال)
پرش به: ناوبری، جستجو
شش سطر نخست از مثلث خیام[۱]

مثلّث خیام، مثلّت پاسکال، مثلّث تارتالیا یا مثلّث خیام-پاسکال به آرایش مثلث‌شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.

نام‌گذاری و پیشینه[ویرایش]

مثلث خیام را در برخی منابع به ندرت «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند. کتاب «مشکلات الحساب»، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید[۲]. بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

توضیح[ویرایش]

مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام - پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله ای گفته می شود.

\binom{n}{k}

خواص مثلث خیام-پاسکال[ویرایش]

برای مطالعه ی خواص جمله های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}

(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+...+\binom{n}{n}b^n

دنباله‌های ویژه در داخل مثلث خیام-پاسکال[ویرایش]

  1. دنباله توان ۲:

دنباله توان ۲ به صورت زیر می‌باشد


2^0 = 1, \; 2^1 =2, \; 2^2 = 4, \; 2^3 =8, \; 2^4 = 16, \; ...

الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان ۲ وجود دارد:


\begin{align}
2^0 = 1\\
2^1 = 1 + 1 = 2\\
2^2 = 1 + 2 + 1 = 4\\
2^3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8\\
2^4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\\
\end{align}

جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان ۲ ایجاد می‌کند با توجه به رابطه (۳٫۳)اگر:


2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + ... + \binom{n}{n} (n \ge 0)

اگر a=۱وb=-۱به رابطهٔ زیر می‌رسیم:


0^n = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + ... + (-1)^n \binom{n}{n} (n \ge 0)

در رابطه اخیر اگر n=۰قرارداد ۱=۰۰ با مشتق گیری از طرفین از طرفین رابطهٔ (۳٫۳)برای a=xوb=۱داریم

n(1+x)^{n-1} = \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2}x + ... + r\binom{n}{r}x^{r-1} + ... + nx^{n-1}

حال اگر x=۱یا x=-۱باشد

 Merrytahoorasf7.jpg

با مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطهٔ (۴٫۳)به روابط دیگری دست می‌یابیم با تعویض عمل مشتق گیری با روابط دیگری به دست می اید.

##دنبالهٔ توان‌های عدد ۱۱:
 Merrytahoorasf8.jpg

در حالت کلی اگر جمله‌های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان ... نگاهکنیم وبدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله‌ای خیام عدد Nnتوانی از ۱۱ است

 Merrytahoorasf9.jpg

مثلاً:

 Merrytahoorasf10.jpg

در مورد سطر ۷ام دقت کنید. الگوی زیر رعایت شده.

 Merrytahoorasf11.jpg

دنبالهٔ اعداد مصور[ویرایش]

در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر ۲ از اعداد مثلثی وقطر۳ از اعداد ۴وجهی تشکیل شده‌اند.

 Merrytahoorasf12.jpg

با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می‌شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد ۴ وجهی مجموع چند عدد مثلثی است. به طور کلی می‌توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده‌اند که به صورت (c(n,kمی‌باشد. در ضمن داریم:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-2}{k-1} + ... + \binom{k-1}{k-1}

دنبالهٔ فیبوناتچی[ویرایش]

اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم.داریم:

 Merrytahoorasf34.jpg

مجموعه اعداد روی قطر ها دنباله ی :

   ...و13و8و5و3و1و1

تشکیل می دهد.در این دنباله جمله اول ودوم 1 است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می شوند

F1=F2=1    Fn+2=Fn+1+Fn                                                                              

اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است. اگرشیب قطر های فیبوناچی را بیشتر کنیم.به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت

   Merrytahoorasf13.jpg

اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم

 G1=G2=G3=1  Gn+2=Gn+1+Gn-1                                                                                                              

تعمیم های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.

دنبالهٔ (c(2n,n[ویرایش]

دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می‌گیریم... و۲۵۲و۷۰و۲۰و۶و۲و۱

\begin{align}
1 = 1^2 \\
2 = 1^2 + 1^2\\
6 = 1^2 + 2^2 + 1^2 \\
20 = 1^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2\\
70 = 1^2 + 4^2 + 6^2 + 4^2 + 1^2\\
...
\end{align}

تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است:


\binom{2n}{n} = \binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \binom{n}{2}^2 + ... + \binom{n}{n}^2 (n \ge 0)

به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله‌های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می‌باشد.

 Merrytahoorasf16.jpg

ویژگی هندسی فانگ[ویرایش]

ایا دو عدددر مثلث پاسکال می توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر 3، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع 2 عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است.اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد.داریم:

Tn+Tn+1=n2                                         

واین نتیجه می دهد.


   Merrytahoorasf17.jpg

برای تفریق داریم


   Merrytahoorasf18.jpg
   Merrytahoorasf19.jpg

ویژگی چوب چوگان[ویرایش]

تساوی زیر را در نظر بگیرید.
 \binom{n}{0} + \binom{n+1}{1} + \binom{n+2}{2} + \binom{n+3}{3}= \binom{n+4}{4}

اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید

  Merrytahoorasf21.jpg

اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم(رابطه بالا را تعمیم دهید)

   Merrytahoorasf22.jpg

ضرب صلیبی[ویرایش]

در اینجا مستطیل هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می گیریم.رئوس این مستطیل ها که بر روی درایه های این مثلث واقع شده اند در اینجا رابطه ای بر حسب درایه های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می اوریم. نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطه ی cدر طول قطر (در امتداد پیکان)جا به جا شود

 همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بوذ
     Merrytahoorasf23.jpg
     Merrytahoorasf24.jpg

ستارهٔ داود[ویرایش]

در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مستطیل ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه های مثلث خیام قرار گیرند.به تساوی زیر میرسیم:
\binom{n-2}{r+1}\binom{n-1}{r}\binom{n}{r+2} = \binom{n-2}{r}\binom{n}{r+1}\binom{n-1}{r+2}

در مرکز این ستاره عنصر \binom{n-1}{r+1}قرار دارد

مثلث خیام–پاسکال و مثلث سرپینسکی[ویرایش]

حال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال». در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات. حال می‌خواهم یکبرخال ساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها یعنی سیستم‌های دینامیکی پیدا کند. مسأله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن‌چه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»:

         Merrytahoorasf30.jpg

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • محمودیان، حسن. شگفتی‌های مثلث خیام: گذری بر آنالیز ترکیبی. سمنان: امید کومش، ۱۳۸۶. ISBN 978-964-90712-6-8. 
  • جعفری، سیامک. مثلث خیام - هندسه فرکتال. تهران: جهاد دانشگاهی، واحد صنعتی امیرکبیر، ۱۳۸۶. ISBN 978-964-8737-96-7. 
  • ب‍ه‍ب‍ودی‍ان، ج‍واد. م‍ث‍ل‍ث خ‍ی‍ام - پ‍اس‍ک‍ال. تهران: دان‍ش‍گ‍اه ص‍ن‍ع‍ت‍ی ش‍ری‍ف، م‍وس‍س‍ه ان‍ت‍ش‍ارات ع‍ل‍م‍ی، ۱۳۸۴. ISBN 964-7982-94-6. 

پیوند به بیرون[ویرایش]