عدد ترتیبی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
نمایش اعداد ترتیبی تا . هر دور از این مارپیچ مایشگر یک توان از است.

در نظریه مجموعه‌ها، عدد ترتیبی (به انگلیسی: Ordinal Number) تعمیم مفهوم اعداد طبیعیست که برای توصیف راهی برای مرتب سازی گردایه ای از اشیاء به کار می رود. هر گردایه متناهی از اعداد را می توان صرفاً با فرایند شمردن مرتب کرد، یعنی برچسب زنی اشیاء با اعداد طبیعی متمایز. لذا اعداد ترتیبی "برچسب"های مورد نیاز برای مرتب کردن گردایه ای از اشیاء به کار می رود.

یک عدد ترتیبی برای توصیف نوع ترتیب یک مجموعه خوش-ترتیب به کار می رود (گرچه که این تعریف برای کلاس های محض خوش ترتیب کار نمی کند). یک مجموعه خوش ترتیب مجموعه ای با رابطه > است چنان که:

  • (تثلیث) برای هر دو عنصر x و y دقیقاً یکی از این گزاره ها درست باشد:
    • x>y
    • x=y
    • y>x
  • (تعدی) برای هر سه عنصر x, y, z اگر x>y و y>z باشد آنگاه x>z.
  • (خوش-بنیانی) هر زیر مجموعه ناتهی دارای کوچک ترین عنصر است، یعنی عنصری چون x دارد چنان که هیچ عنصر دیگری چون y در زیر مجموعه وجود ندارد که x>y.

دو مجموعه خوش-ترتیب دارای یک سنخ ترتیبی است اگر و تنها اگر تناظر دو سویه از یک مجموعه به دیگری وجود داشته باشد که رابطه اولین مجموعه را به رابطه مجموعه دوم تبدیل کند.

در حالی که اعداد ترتیبی برای مرتب سازی اشیاء یک گردایه مفید اسند، آن ها متمایز از اعداد اصلی (کاردینال) اند. اعداد اصلی برای گزارش تعداد اشیاء یک گردایه به کار می روند. گرچه که تمایز بین اعداد ترتیبی و اصلی در مجموعه های متناهی همیشه مشهود نیست، اعداد ترتیبی نامتناهی مختلفی را می توان برای توصیف مجموعه ای با یک عدد اصلی به کار برد. اعداد ترتیبی هم مثل انواع دیگر اعداد می توان جمع، ضرب کرد یا به توان رسانید، گرچه که هیچ کدام از این عملیات برای اعداد ترتیبی جابجاپذیر نیستند.

اعداد ترتیبی توسط جورج کانتور در ۱۸۸۳،[۱] برای تطبیق با دنباله های متناهی و همچنین دسته بندی مجموعه های مشتق شده، که قبلاً در ۱۸۷۲ هنگام مطالعه یکتایی دنباله های مثلثاتی معرفی شده بودند، معرفی گشت.[۲]

یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. Thorough introductions are given by (Levy 1979) and (Jech 2003).
  2. Hallett, Michael (1979), "Towards a theory of mathematical research programmes. I", The British Journal for the Philosophy of Science, 30 (1): 1–25, doi:10.1093/bjps/30.1.1, MR 0532548. See the footnote on p. 12.

منابع[ویرایش]