مقدار ویژه و بردار ویژه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مسأله مقادیر ویژه (Eigenvalue problem) (یا مسأله مقادیر ذاتی) مربوط به ماتریس‌ها و عمل‌گرها از جمله اساسی‌ترین و ذاتی‌ترین و به همین جهت پرکاربردترین مباحث و ابزار در بسیاری از زمینه‌های علوم و فنون قدیم و جدید می‌باشد.

فضای برداری با بعد متناهی[ویرایش]

مسأله اول در مورد فضاهای برداری با بعد متناهی است. ماتریس مربعی A \! را در نظر می‌گیریم. بردار غیر صفر x \! را بردار ویژه A \!، و اسکالر  \lambda \! را مقدار ویژه نظیر آن بردار می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر اقناع شود:

A x = \lambda x\!

در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: بردار ویژه x \! و مقدار ویژه  \lambda \!. پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.

مثال:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:


A = 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}

معادله ماتریسی بالا خواهد شد:

 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}     
\begin{bmatrix}
  x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
= 
\lambda 
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}

ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار  
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:

 
\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}     
-
\lambda 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}     
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}

= 0

در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب  \lambda در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:

 
\begin{bmatrix}
1 - \lambda & 2 \\
2 & 1 - \lambda \\
\end{bmatrix}     

\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}

= 0

معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:

 a y = 0 \!

که در اینجا  a \! عددی ثابت است. متغیر مجهول  y \!، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:

 a = 0 \!

که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم. یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه  x =   
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس  A \! می‌انجامد. پس، داریم:

\det\begin{bmatrix} 1-\lambda  & 2\\2 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = 0.

با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:

 \lambda_1 = 3,   \lambda_2 = -1 \!

نکات و اشارات[ویرایش]

تجزیه مقادیر ویژه را می‌توان تکنیکی بسیار مؤثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:

ضرب ماتریس A \! در بردار x \! در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته است.

فضاهای بی‌نهایت بعدی[ویرایش]

توابع پیوسته ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به خود می‌گیرد.

عمل‌گر مشتق‌گیری[ویرایش]

به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم:

\frac{d}{dx} f(x) = g(x) \!

در این جا عمل‌گر \frac{d}{dx} \! بر روی تابع مشتق‌پذیر f(x) \! عمل نموده و تابع g(x) \! را به دست داده است.

مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند:

\frac{d}{dx} f(x) = \lambda f(x) \!

در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای بردار ویژه، عبارت تابع ویژه را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:

 f(x) = e^{i \omega x},  \lambda = {i\omega}  \!

چرا که داریم:

\frac{d}{dx} e^{i \omega x} = {i\omega} e^{i \omega x} \!

از همین نقطه است که مهم‌ترین و فراگیرترین تبدیل فیزیک ریاضی -تبدیل فوریه- تولد می‌یابد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

پیوند به بیرون[ویرایش]